代数示例

$125 x^{3} - 27 = 0$

解题步骤 1

将 $125 x^{3}$ 重写为 ${(5 x)}^{3}$ 。

${(5 x)}^{3} - 27 = 0$

解题步骤 2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

${(5 x)}^{3} - 3^{3} = 0$

解题步骤 3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 5 x$ 和 $b = 3$ 。

$(5 x - 3) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$(5 x - 3) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

解题步骤 4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 5 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 3^{2}) = 0$

解题步骤 4.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 9) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 x - 3 = 0$

$25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

解题步骤 6

将 $5 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $5 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$5 x - 3 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $5 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$5 x = 3$

解题步骤 6.2.2

将 $5 x = 3$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $5 x = 3$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{5}$

解题步骤 7

将 $25 x^{2} + 15 x + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $25 x^{2} + 15 x + 9$ 设为等于 $0$ 。

$25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $25 x^{2} + 15 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2.2

将 $a = 25$ 、 $b = 15$ 和 $c = 9$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 9)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

将 $- 100$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.3

从 $225$ 中减去 $900$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.4

将 $- 675$ 重写为 $- 1 (675)$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (675)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.7

将 $675$ 重写为 $15^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.7.1

从 $675$ 中分解出因数 $225$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.7.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.1.9

将 $15$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

解题步骤 7.2.3.3

化简 $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.4.1.1

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ 。

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解题步骤 7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.2.2

将 $- 100$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.3

从 $225$ 中减去 $900$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.4

将 $- 675$ 重写为 $- 1 (675)$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (675)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.7

将 $675$ 重写为 $15^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.4.1.7.1

从 $675$ 中分解出因数 $225$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.7.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.1.9

将 $15$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

解题步骤 7.2.4.3

化简 $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.4.5

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.4.6

从 $3 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{10}$

解题步骤 7.2.4.7

从 $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{10}$

解题步骤 7.2.4.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1.1

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 25 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 25 \cdot 9$ 。

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解题步骤 7.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 100 \cdot 9}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.2.2

将 $- 100$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 900}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.3

从 $225$ 中减去 $900$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.4

将 $- 675$ 重写为 $- 1 (675)$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (675)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ 。

$x = \frac{- 15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.7

将 $675$ 重写为 $15^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.5.1.7.1

从 $675$ 中分解出因数 $225$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.7.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 15 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.1.9

将 $15$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

解题步骤 7.2.5.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$x = \frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$

解题步骤 7.2.5.3

化简 $\frac{- 15 \pm 15 i \sqrt{3}}{50}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.5.5

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.5.6

从 $- 3 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{10}$

解题步骤 7.2.5.7

从 $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{10}$

解题步骤 7.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

解题步骤 8

最终解为使 $(5 x - 3) (25 x^{2} + 15 x + 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3}{5}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{10}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{10}$

代数 示例

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