代数示例

$8 x^{3} - 1 = 0$

解题步骤 1

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{3}$ 。

${(2 x)}^{3} - 1 = 0$

解题步骤 2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

${(2 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x$ 和 $b = 1$ 。

$(2 x - 1) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$(2 x - 1) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 4.4

一的任意次幂都为一。

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 6

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 7

将 $4 x^{2} + 2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $4 x^{2} + 2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = 2$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 7.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 7.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.4.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.4.6

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 7.2.4.7

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 7.2.4.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 7.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.5.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.5.6

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 7.2.5.7

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 7.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8

最终解为使 $(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

代数 示例

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