代数示例

$| x^{2} - 2 x | = 35$

解题步骤 1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x^{2} - 2 x = \pm 35$

解题步骤 2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x^{2} - 2 x = 35$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $35$ 。

$x^{2} - 2 x - 35 = 0$

解题步骤 2.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 35$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 35$ ，和为 $- 2$ 。

$- 7, 5$

解题步骤 2.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 7) (x + 5) = 0$

解题步骤 2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.5

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 2.6

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 2.7

最终解为使 $(x - 7) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 7, - 5$

解题步骤 2.8

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x^{2} - 2 x = - 35$

解题步骤 2.9

在等式两边都加上 $35$ 。

$x^{2} - 2 x + 35 = 0$

解题步骤 2.10

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.11

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 35$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 35)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12

化简。

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解题步骤 2.12.1

化简分子。

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解题步骤 2.12.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 35$ 。

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解题步骤 2.12.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $35$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 140}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.3

从 $4$ 中减去 $140$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 136}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.4

将 $- 136$ 重写为 $- 1 (136)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.5

将 $\sqrt{- 1 (136)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{136}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.7

将 $136$ 重写为 $2^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 2.12.1.7.1

从 $136$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{34})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.12.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$

解题步骤 2.12.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{34}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{34}$

解题步骤 2.13

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i \sqrt{34}, 1 - i \sqrt{34}$

解题步骤 2.14

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 7, - 5, 1 + i \sqrt{34}, 1 - i \sqrt{34}$

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