代数示例

$\log_{x} (64) = - 3$

解题步骤 1

使用对数的定义将 $\log_{x} (64) = - 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$x^{- 3} = 64$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}} = 64$

解题步骤 2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{3}, 1$

解题步骤 2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{3}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x^{3}} = 64$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{x^{3}} = 64$ 中的每一项乘以 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 x^{3}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 x^{3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = 64 x^{3}$

解题步骤 2.4

求解方程。

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解题步骤 2.4.1

将方程重写为 $64 x^{3} = 1$ 。

$64 x^{3} = 1$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$64 x^{3} - 1 = 0$

解题步骤 2.4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $64 x^{3}$ 重写为 ${(4 x)}^{3}$ 。

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

解题步骤 2.4.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 2.4.3.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 4 x$ 和 $b = 1$ 。

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.4.3.4

化简。

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解题步骤 2.4.3.4.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.4.3.4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.4.3.4.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.4.3.4.4

一的任意次幂都为一。

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

解题步骤 2.4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.5

将 $4 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $4 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.5.2

求解 $x$ 的 $4 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 x = 1$

解题步骤 2.4.5.2.2

将 $4 x = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.4.5.2.2.1

将 $4 x = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.4.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.5.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.4.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.4.6

将 $16 x^{2} + 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $16 x^{2} + 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.6.2

求解 $x$ 的 $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.6.2.2

将 $a = 16$ 、 $b = 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $64$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.4

将 $- 48$ 重写为 $- 1 (48)$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (48)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.7

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.4.6.2.3.1.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.4.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 2.4.6.2.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.6.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 2.4.7

最终解为使 $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

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