代数示例

$x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} - 15 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2 x^{\frac{1}{3}} - 15 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{\frac{1}{3}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$u^{2} - 2 u - 15 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 5) (u + 3) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{\frac{1}{3}} - 5) (x^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

解题步骤 6

将 $x^{\frac{1}{3}} - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{\frac{1}{3}} - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = 5$

解题步骤 6.2.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 5^{3}$

解题步骤 6.2.3

化简指数。

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解题步骤 6.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 5^{3}$

解题步骤 6.2.3.1.1.2

化简。

$x = 5^{3}$

解题步骤 6.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.2.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = 125$

解题步骤 7

将 $x^{\frac{1}{3}} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x^{\frac{1}{3}} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

解题步骤 7.2.2

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 7.2.3

化简指数。

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解题步骤 7.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

化简。

$x = {(- 3)}^{3}$

解题步骤 7.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.2.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = - 27$

解题步骤 8

最终解为使 $(x^{\frac{1}{3}} - 5) (x^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 125, - 27$

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