代数示例

$x^{\frac{3}{2}} = 125$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $125$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - 125 = 0$

解题步骤 2

将 $x^{\frac{3}{2}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 125 = 0$

解题步骤 3

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 5^{3} = 0$

解题步骤 4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x^{\frac{1}{2}}$ 和 $b = 5$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

解题步骤 5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

约去公因数。

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

解题步骤 5.1.2.2

重写表达式。

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

解题步骤 5.2

化简。

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

解题步骤 5.3

将 $5$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5^{2}) = 0$

解题步骤 5.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

$x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$

解题步骤 7

将 $x^{\frac{1}{2}} - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x^{\frac{1}{2}} - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 5$

解题步骤 7.2.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

解题步骤 7.2.3

化简指数。

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解题步骤 7.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

解题步骤 7.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 5^{2}$

解题步骤 7.2.3.1.1.2

化简。

$x = 5^{2}$

解题步骤 7.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 25$

解题步骤 8

将 $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

求每项中都有的公因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25$

解题步骤 8.2.2

代入 $u$ 替换 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(u)}^{2} + 5 (u) + 25 = 0$

解题步骤 8.2.3

求解 $u$ 。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $5$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + 5 u + 25 = 0$

解题步骤 8.2.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 8.2.3.3

将 $a = 1$ 、 $b = 5$ 和 $c = 25$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4

化简。

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解题步骤 8.2.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.4.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 。

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解题步骤 8.2.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.3

从 $25$ 中减去 $100$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.4

将 $- 75$ 重写为 $- 1 (75)$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (75)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.7

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.2.3.4.1.7.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.8

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.1.9

将 $5$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 8.2.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.5.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 。

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解题步骤 8.2.3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.3

从 $25$ 中减去 $100$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.4

将 $- 75$ 重写为 $- 1 (75)$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (75)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.7

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.2.3.5.1.7.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.8

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.1.9

将 $5$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.5.4

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$u = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.5.5

从 $5 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.2.3.5.6

从 $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.2.3.5.7

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 8.2.3.6.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.6.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ 。

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解题步骤 8.2.3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.3

从 $25$ 中减去 $100$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.4

将 $- 75$ 重写为 $- 1 (75)$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (75)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.7

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.2.3.6.1.7.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.8

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.1.9

将 $5$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.6.4

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.6.5

从 $- 5 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.2.3.6.6

从 $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.2.3.6.7

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.3.7

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.4

代入 $x$ 替换 $u$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.5

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.5.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.5.2

化简指数。

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解题步骤 8.2.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.5.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.5.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.5.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.5.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.5.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.5.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.5.2.1.1.2

化简。

$x = {(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1

化简 ${(- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.1.1

对 $- \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.1.2

对 $\frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 1 \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.2.2

将 $\frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{{(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.2.4

将 ${(5 - 5 i \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})$ 。

$x = \frac{(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(5 - 5 i \sqrt{3}) (5 - 5 i \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.3.1

运用分配律。

$x = \frac{5 (5 - 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.3.2

运用分配律。

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} (5 - 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.3.3

运用分配律。

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{25 + 5 (- 5 i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{25 - 25 (i \sqrt{3}) - 5 i \sqrt{3} \cdot 5 - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.3

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4

乘以 $- 5 i \sqrt{3} (- 5 i \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.1

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.6

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.7

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.4.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} + 25 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.6

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4.1

约去公因数。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.7.4.2

重写表达式。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{1}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.7.5

计算指数。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.1.8

将 $- 25$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{25 - 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 75}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.2

从 $25$ 中减去 $75$ 。

$x = \frac{- 25 i \sqrt{3} - 25 i \sqrt{3} - 50}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.4.3

从 $- 25 i \sqrt{3}$ 中减去 $25 i \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 50 i \sqrt{3} - 50}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.5

将 $- 50 i \sqrt{3}$ 和 $- 50$ 重新排序。

$x = \frac{- 50 - 50 i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.6

约去 $- 50 - 50 i \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.6.1

从 $- 50$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 25) - 50 i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.6.2

从 $- 50 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 25) + 2 (- 25 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.6.3

从 $2 (- 25) + 2 (- 25 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.6.4

约去公因数。

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解题步骤 8.2.5.2.2.1.6.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.6.4.2

约去公因数。

$x = \frac{2 (- 25 - 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.6.4.3

重写表达式。

$x = \frac{- 25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.7

将 $- 25$ 重写为 $- 1 (25)$ 。

$x = \frac{- 1 (25) - 25 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.8

从 $- 25 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (25) - (25 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.9

从 $- 1 (25) - (25 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (25 + 25 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.2.5.2.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.6

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.6.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.6.2

化简指数。

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解题步骤 8.2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.6.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.6.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.6.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.6.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.6.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.6.2.1.1.2

化简。

$x = {(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1

化简 ${(- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.1.1

对 $- \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.1.2

对 $\frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 1 \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.2.2

将 $\frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{{(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.2.4

将 ${(5 + 5 i \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})$ 。

$x = \frac{(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(5 + 5 i \sqrt{3}) (5 + 5 i \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.3.1

运用分配律。

$x = \frac{5 (5 + 5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.3.2

运用分配律。

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} (5 + 5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.3.3

运用分配律。

$x = \frac{5 \cdot 5 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{25 + 5 (5 i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{25 + 25 (i \sqrt{3}) + 5 i \sqrt{3} \cdot 5 + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4

乘以 $5 i \sqrt{3} (5 i \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.6

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.7

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.4.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} + 25 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.6

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4.1

约去公因数。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.7.4.2

重写表达式。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3^{1}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.7.5

计算指数。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 25 \cdot 3}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.1.8

将 $- 25$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{25 + 25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 75}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.2

从 $25$ 中减去 $75$ 。

$x = \frac{25 i \sqrt{3} + 25 i \sqrt{3} - 50}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.4.3

将 $25 i \sqrt{3}$ 和 $25 i \sqrt{3}$ 相加。

$x = \frac{50 i \sqrt{3} - 50}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.5

将 $50 i \sqrt{3}$ 和 $- 50$ 重新排序。

$x = \frac{- 50 + 50 i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.6

约去 $- 50 + 50 i \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.6.1

从 $- 50$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 25) + 50 i \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.6.2

从 $50 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 25) + 2 (25 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.6.3

从 $2 (- 25) + 2 (25 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.6.4

约去公因数。

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解题步骤 8.2.6.2.2.1.6.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.6.4.2

约去公因数。

$x = \frac{2 (- 25 + 25 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.6.4.3

重写表达式。

$x = \frac{- 25 + 25 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.7

将 $- 25$ 重写为 $- 1 (25)$ 。

$x = \frac{- 1 (25) + 25 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.8

从 $25 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (25) - (- 25 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.9

从 $- 1 (25) - (- 25 i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (25 - 25 i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.2.6.2.2.1.10

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.2.7

列出所有解。

$x = - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9

最终解为使 $(x^{\frac{1}{2}} - 5) (x + 5 x^{\frac{1}{2}} + 25) = 0$ 成立的所有值。

$x = 25, - \frac{25 + 25 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{25 - 25 i \sqrt{3}}{2}$

代数 示例

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