代数示例

$\sqrt{x + 14} = x - 6$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x + 14}}^{2} = {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 14}$ 重写成 ${(x + 14)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(x + 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(x + 14)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 14)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 14)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 14)}^{1} = {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$x + 14 = {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(x - 6)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(x - 6)}^{2}$ 重写为 $(x - 6) (x - 6)$ 。

$x + 14 = (x - 6) (x - 6)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 6) (x - 6)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$x + 14 = x (x - 6) - 6 (x - 6)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$x + 14 = x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$x + 14 = x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x + 14 = x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$x + 14 = x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$x + 14 = x^{2} - 6 x - 6 x + 36$

解题步骤 2.3.1.3.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$x + 14 = x^{2} - 12 x + 36$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} - 12 x + 36 = x + 14$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} - 12 x + 36 - x = 14$

解题步骤 3.2.2

从 $- 12 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} - 13 x + 36 = 14$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $14$ 。

$x^{2} - 13 x + 36 - 14 = 0$

解题步骤 3.4

从 $36$ 中减去 $14$ 。

$x^{2} - 13 x + 22 = 0$

解题步骤 3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 13 x + 22$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $22$ ，和为 $- 13$ 。

$- 11, - 2$

解题步骤 3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 11) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 11 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.7

将 $x - 11$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x - 11$ 设为等于 $0$ 。

$x - 11 = 0$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $11$ 。

$x = 11$

解题步骤 3.8

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.9

最终解为使 $(x - 11) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 11, 2$

解题步骤 4

排除不能使 $\sqrt{x + 14} = x - 6$ 成立的解。

$x = 11$

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