代数示例

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$

解题步骤 1

将

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 写为等式。

y = x^{2}

$y = x^{2}$

解题步骤 2

交换变量。

x = y^{2}

$x = y^{2}$

解题步骤 3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

y^{2} = x

$y^{2} = x$ 。

y^{2} = x

$y^{2} = x$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

y = \pm \sqrt{x}

$y = \pm \sqrt{x}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.1

首先，利用

\pm

$\pm$ 的正值求第一个解。

y = \sqrt{x}

$y = \sqrt{x}$

解题步骤 3.3.2

下一步，使用

\pm

$\pm$ 的负值来求第二个解。

y = - \sqrt{x}

$y = - \sqrt{x}$

解题步骤 3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

y = \sqrt{x}

$y = \sqrt{x}$

y = - \sqrt{x}

$y = - \sqrt{x}$

y = \sqrt{x}

$y = \sqrt{x}$

y = - \sqrt{x}

$y = - \sqrt{x}$

y = \sqrt{x}

$y = \sqrt{x}$

y = - \sqrt{x}

$y = - \sqrt{x}$

解题步骤 4

使用

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ 替换

y

$y$ ，以得到最终答案。

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

解题步骤 5

验证

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ 是否为

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 和

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效

y

$y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

[0, \infty)

$[0, \infty)$

[0, \infty)

$[0, \infty)$

解题步骤 5.3

求

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于

0

$0$ ，以求使表达式有意义的区间。

x \geq 0

$x \geq 0$

解题步骤 5.3.2

定义域为使表达式有定义的所有值

x

$x$ 。

[0, \infty)

$[0, \infty)$

[0, \infty)

$[0, \infty)$

解题步骤 5.4

求

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ 的定义域为

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 的值域，而

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ 的值域又为

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 的定义域，因此

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ 为

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ 的反函数。

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

解题步骤 6

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$