代数示例

y = x^{2} + 2 x - 3

$y = x^{2} + 2 x - 3$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对

x^{2} + 2 x - 3

$x^{2} + 2 x - 3$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 1

$a = 1$

b = 2

$b = 2$

c = - 3

$c = - 3$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.3.2

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去公因数。

d = \frac{2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

重写表达式。

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

e

$e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将

c

$c$ 、

b

$b$ 和

a

$a$ 的值代入公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

e = - 3 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 3 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对

2

$2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

e = - 3 - \frac{4}{4 \cdot 1}

$e = - 3 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

e = - 3 - \frac{4}{4}

$e = - 3 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.1

约去公因数。

e = - 3 - \frac{4}{4}

$e = - 3 - \frac{4}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.3.2

重写表达式。

e = - 3 - 1 \cdot 1

$e = - 3 - 1 \cdot 1$

e = - 3 - 1 \cdot 1

$e = - 3 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

e = - 3 - 1

$e = - 3 - 1$

e = - 3 - 1

$e = - 3 - 1$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

从

- 3

$- 3$ 中减去

1

$1$ 。

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

e = - 4

$e = - 4$

解题步骤 1.1.1.5

将

a

$a$ 、

d

$d$ 和

e

$e$ 的值代入顶点式

{(x + 1)}^{2} - 4

${(x + 1)}^{2} - 4$ 。

{(x + 1)}^{2} - 4

${(x + 1)}^{2} - 4$

{(x + 1)}^{2} - 4

${(x + 1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.1.2

将

y

$y$ 设为等于右边新的值。

y = {(x + 1)}^{2} - 4

$y = {(x + 1)}^{2} - 4$

y = {(x + 1)}^{2} - 4

$y = {(x + 1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.2

使用顶点式

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求

a

$a$ 、

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

a = 1

$a = 1$

h = - 1

$h = - 1$

k = - 4

$k = - 4$

解题步骤 1.3

因为

a

$a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点

(h, k)

$(h, k)$ 。

(- 1, - 4)

$(- 1, - 4)$

解题步骤 1.5

求

p

$p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将

a

$a$ 的值代入公式中。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3

约去

1

$1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让

p

$p$ 加上 y 轴坐标

k

$k$ 求得抛物线的焦点。

(h, k + p)

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将

h

$h$ 、

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(- 1, - \frac{15}{4})

$(- 1, - \frac{15}{4})$

(- 1, - \frac{15}{4})

$(- 1, - \frac{15}{4})$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

x = - 1

$x = - 1$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标

k

$k$ 减去

p

$p$ 求得的水平线。

y = k - p

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

y = - \frac{17}{4}

$y = - \frac{17}{4}$

y = - \frac{17}{4}

$y = - \frac{17}{4}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

(- 1, - 4)

$(- 1, - 4)$

焦点：

(- 1, - \frac{15}{4})

$(- 1, - \frac{15}{4})$

对称轴：

x = - 1

$x = - 1$

准线：

y = - \frac{17}{4}

$y = - \frac{17}{4}$

方向：开口向上

顶点：

(- 1, - 4)

$(- 1, - 4)$

焦点：

(- 1, - \frac{15}{4})

$(- 1, - \frac{15}{4})$

对称轴：

x = - 1

$x = - 1$

准线：

y = - \frac{17}{4}

$y = - \frac{17}{4}$

解题步骤 2

选取几个

x

$x$ 的值，将其代入方程以求对应的

y

$y$ 值，所选取的

x

$x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

- 2

$- 2$ 替换变量

x

$x$ 。

f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 3

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 3$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

对

- 2

$- 2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (- 2) = 4 + 2 (- 2) - 3

$f (- 2) = 4 + 2 (- 2) - 3$

解题步骤 2.2.1.2

将

2

$2$ 乘以

- 2

$- 2$ 。

f (- 2) = 4 - 4 - 3

$f (- 2) = 4 - 4 - 3$

f (- 2) = 4 - 4 - 3

$f (- 2) = 4 - 4 - 3$

解题步骤 2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从

4

$4$ 中减去

4

$4$ 。

f (- 2) = 0 - 3

$f (- 2) = 0 - 3$

解题步骤 2.2.2.2

从

0

$0$ 中减去

3

$3$ 。

f (- 2) = - 3

$f (- 2) = - 3$

f (- 2) = - 3

$f (- 2) = - 3$

解题步骤 2.2.3

最终答案为

- 3

$- 3$ 。

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

解题步骤 2.3

y

$y$ 在

x = - 2

$x = - 2$ 处的值为

- 3

$- 3$ 。

y = - 3

$y = - 3$

解题步骤 2.4

使用表达式中的

- 3

$- 3$ 替换变量

x

$x$ 。

f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 3

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 3$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对

- 3

$- 3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (- 3) = 9 + 2 (- 3) - 3

$f (- 3) = 9 + 2 (- 3) - 3$

解题步骤 2.5.1.2

将

2

$2$ 乘以

- 3

$- 3$ 。

f (- 3) = 9 - 6 - 3

$f (- 3) = 9 - 6 - 3$

f (- 3) = 9 - 6 - 3

$f (- 3) = 9 - 6 - 3$

解题步骤 2.5.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

从

9

$9$ 中减去

6

$6$ 。

f (- 3) = 3 - 3

$f (- 3) = 3 - 3$

解题步骤 2.5.2.2

从

3

$3$ 中减去

3

$3$ 。

f (- 3) = 0

$f (- 3) = 0$

f (- 3) = 0

$f (- 3) = 0$

解题步骤 2.5.3

最终答案为

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 2.6

y

$y$ 在

x = - 3

$x = - 3$ 处的值为

0

$0$ 。

y = 0

$y = 0$

解题步骤 2.7

使用表达式中的

0

$0$ 替换变量

x

$x$ 。

f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 3

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 3$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

f (0) = 0 + 2 (0) - 3

$f (0) = 0 + 2 (0) - 3$

解题步骤 2.8.1.2

将

2

$2$ 乘以

0

$0$ 。

f (0) = 0 + 0 - 3

$f (0) = 0 + 0 - 3$

f (0) = 0 + 0 - 3

$f (0) = 0 + 0 - 3$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

将

0

$0$ 和

0

$0$ 相加。

f (0) = 0 - 3

$f (0) = 0 - 3$

解题步骤 2.8.2.2

从

0

$0$ 中减去

3

$3$ 。

f (0) = - 3

$f (0) = - 3$

f (0) = - 3

$f (0) = - 3$

解题步骤 2.8.3

最终答案为

- 3

$- 3$ 。

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

解题步骤 2.9

y

$y$ 在

x = 0

$x = 0$ 处的值为

- 3

$- 3$ 。

y = - 3

$y = - 3$

解题步骤 2.10

使用表达式中的

1

$1$ 替换变量

x

$x$ 。

f (1) = {(1)}^{2} + 2 (1) - 3

$f (1) = {(1)}^{2} + 2 (1) - 3$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

一的任意次幂都为一。

f (1) = 1 + 2 (1) - 3

$f (1) = 1 + 2 (1) - 3$

解题步骤 2.11.1.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

f (1) = 1 + 2 - 3

$f (1) = 1 + 2 - 3$

f (1) = 1 + 2 - 3

$f (1) = 1 + 2 - 3$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

将

1

$1$ 和

2

$2$ 相加。

f (1) = 3 - 3

$f (1) = 3 - 3$

解题步骤 2.11.2.2

从

3

$3$ 中减去

3

$3$ 。

f (1) = 0

$f (1) = 0$

f (1) = 0

$f (1) = 0$

解题步骤 2.11.3

最终答案为

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 2.12

y

$y$ 在

x = 1

$x = 1$ 处的值为

0

$0$ 。

y = 0

$y = 0$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

\begin{matrix} x & y - 3 & 0 - 2 & - 3 - 1 & - 4 0 & - 3 1 & 0 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - 3 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & - 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

\begin{matrix} x & y - 3 & 0 - 2 & - 3 - 1 & - 4 0 & - 3 1 & 0 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - 3 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & - 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

(- 1, - 4)

$(- 1, - 4)$

焦点：

(- 1, - \frac{15}{4})

$(- 1, - \frac{15}{4})$

对称轴：

x = - 1

$x = - 1$

准线：

y = - \frac{17}{4}

$y = - \frac{17}{4}$

\begin{matrix} x & y - 3 & 0 - 2 & - 3 - 1 & - 4 0 & - 3 1 & 0 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - 3 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & - 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

解题步骤 4

代数 示例

代数示例