代数示例

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{3}$

解题步骤 2

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 2.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{x^{2}}{3}$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = 0$

解题步骤 2.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 2.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.2.1

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2.2

重写表达式。

$d = \frac{0}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = 0 \cdot 3$

解题步骤 2.1.1.3.2.3

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$d = 0$

解题步骤 2.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 2.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (0 (\frac{3}{4}))$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.4

将 $0$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$e = 0 - 0$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = 0 + 0$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$e = 0$

解题步骤 2.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $\frac{1}{3} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{2}$

解题步骤 2.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

解题步骤 2.2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = 0$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 2.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 2.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

解题步骤 2.5.3

化简。

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解题步骤 2.5.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 2.5.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$1 (\frac{3}{4})$

解题步骤 2.5.3.3

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 2.6

求焦点。

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解题步骤 2.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(0, \frac{3}{4})$

解题步骤 2.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 0$

解题步骤 2.8

求准线。

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解题步骤 2.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 2.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = - \frac{3}{4}$

解题步骤 2.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(0, \frac{3}{4})$

对称轴： $x = 0$

准线： $y = - \frac{3}{4}$

方向：开口向上

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(0, \frac{3}{4})$

对称轴： $x = 0$

准线： $y = - \frac{3}{4}$

解题步骤 3

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{3}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 3.3

$y$ 在 $x = - 1$ 处的值为 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.4

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3}$

解题步骤 3.5

化简结果。

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解题步骤 3.5.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = \frac{4}{3}$

解题步骤 3.5.2

最终答案为 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{4}{3}$

解题步骤 3.6

$y$ 在 $x = - 2$ 处的值为 $\frac{4}{3}$ 。

$y = \frac{4}{3}$

解题步骤 3.7

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{3}$

解题步骤 3.8

化简结果。

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解题步骤 3.8.1

约去 ${(3)}^{2}$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1.1

从 ${(3)}^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3}$

解题步骤 3.8.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.8.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

解题步骤 3.8.1.2.2

约去公因数。

$f (3) = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.1.2.3

重写表达式。

$f (3) = \frac{3}{1}$

解题步骤 3.8.1.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$f (3) = 3$

解题步骤 3.8.2

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 3.9

$y$ 在 $x = 3$ 处的值为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 3.10

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{3}$

解题步骤 3.11

化简结果。

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解题步骤 3.11.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.11.2

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 3.12

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{4}{3} \\ - 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 3 & 3 \end{array}$

解题步骤 4

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(0, 0)$

焦点： $(0, \frac{3}{4})$

对称轴： $x = 0$

准线： $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{4}{3} \\ - 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} \\ 3 & 3 \end{array}$

解题步骤 5

代数 示例

代数示例