代数示例

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 10 u + 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $9$ ，和为 $- 10$ 。

$- 9, - 1$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 9) (u - 1) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 9) (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 7

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 8

因数。

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解题步骤 8.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 8.2

去掉多余的括号。

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 10

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 11

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 12

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 12.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 13

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 13.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 14

最终解为使 $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, 3, - 1, 1$

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