代数示例

A line is perpendicular to $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ and intersects the point $(- 2, 4)$ What is the equation of this perpendicular line?

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ , $(- 2, 4)$

解题步骤 2

求 $y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$ 成立时的斜率。

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解题步骤 2.1

重写为斜截式。

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解题步骤 2.1.1

斜截式为 $y = m x + b$ ，其中 $m$ 是斜率， $b$ 是 y 轴截距。

$y = m x + b$

解题步骤 2.1.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 2.1.3

重新排序项。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3}$

解题步骤 2.2

使用斜截式，斜率为 $\frac{2}{3}$ 。

$m = \frac{2}{3}$

解题步骤 3

垂线方程的斜率必须是原方程斜率的负倒数。

$m_{垂线} = - \frac{1}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4

化简 $- \frac{1}{\frac{2}{3}}$ 以求垂线斜率。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$m_{垂线} = - (1 (\frac{3}{2}))$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$m_{垂线} = - \frac{3}{2}$

解题步骤 5

使用点斜式求垂线公式。

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解题步骤 5.1

使用斜率 $- \frac{3}{2}$ 和给定点 $(- 2, 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (4) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (- 2))$

解题步骤 5.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 4 = - \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$

解题步骤 6

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 6.1

求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1.1

化简 $- \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

重写。

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x + 2)$

解题步骤 6.1.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.1.2.1

运用分配律。

$y - 4 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot 2$

解题步骤 6.1.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 2$

解题步骤 6.1.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.3.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 2$

解题步骤 6.1.1.2.3.2

约去公因数。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot 2$

解题步骤 6.1.1.2.3.3

重写表达式。

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3$

解题步骤 6.1.1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y - 4 = - \frac{3 x}{2} - 3$

解题步骤 6.1.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$y = - \frac{3 x}{2} - 3 + 4$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 3$ 和 $4$ 相加。

$y = - \frac{3 x}{2} + 1$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$y = - (\frac{3}{2} x) + 1$

解题步骤 6.3

去掉圆括号。

$y = - \frac{3}{2} x + 1$

解题步骤 7

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