代数示例

$f (x) = 2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$

解题步骤 1

将 $2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4}) + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $11 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $17 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + 21 x^{2} + 45 x = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $21 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + 45 x = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $45 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

解题步骤 2.1.1.6

从 $x (2 x^{4}) + x (11 x^{3})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4} + 11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

解题步骤 2.1.1.7

从 $x (2 x^{4} + 11 x^{3}) + x (17 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

解题步骤 2.1.1.8

从 $x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2}) + x (21 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x) + x \cdot 45 = 0$

解题步骤 2.1.1.9

从 $x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x) + x \cdot 45$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.1.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

解题步骤 2.1.2.3

代入 $- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $- 3$ 代入多项式。

$2 {(- 3)}^{4} + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.2

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 \cdot 81 + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $81$ 。

$162 + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.4

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$162 + 11 \cdot - 27 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.5

将 $11$ 乘以 $- 27$ 。

$162 - 297 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.6

从 $162$ 中减去 $297$ 。

$- 135 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.7

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 135 + 17 \cdot 9 + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.8

将 $17$ 乘以 $9$ 。

$- 135 + 153 + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.9

将 $- 135$ 和 $153$ 相加。

$18 + 21 \cdot - 3 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.10

将 $21$ 乘以 $- 3$ 。

$18 - 63 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.11

从 $18$ 中减去 $63$ 。

$- 45 + 45$

解题步骤 2.1.2.3.12

将 $- 45$ 和 $45$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.2.4

因为 $- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45}{x + 3}$

解题步骤 2.1.2.5

用 $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ 除以 $x + 3$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

解题步骤 2.1.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

解题步骤 2.1.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

解题步骤 2.1.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{4} + 6 x^{3}$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

解题步骤 2.1.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

解题步骤 2.1.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $5 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{3} + 15 x^{2}$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

解题步骤 2.1.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

解题步骤 2.1.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

解题步骤 2.1.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} + 6 x$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

解题步骤 2.1.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

解题步骤 2.1.2.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

解题步骤 2.1.2.5.17

将被除数中的最高阶项 $15 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

解题步骤 2.1.2.5.18

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

解题步骤 2.1.2.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $15 x + 45$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

解题步骤 2.1.2.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

$0$

解题步骤 2.1.2.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$

解题步骤 2.1.2.6

将 $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ 书写为因数的集合。

$x ((x + 3) (2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15)) = 0$

解题步骤 2.1.3

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.1.3.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

解题步骤 2.1.3.1.3

代入 $- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.3.1.3.1

将 $- 3$ 代入多项式。

$2 {(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 2.1.3.1.3.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 27 + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 2.1.3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 27$ 。

$- 54 + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 2.1.3.1.3.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 54 + 5 \cdot 9 + 2 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 2.1.3.1.3.5

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$- 54 + 45 + 2 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 2.1.3.1.3.6

将 $- 54$ 和 $45$ 相加。

$- 9 + 2 \cdot - 3 + 15$

解题步骤 2.1.3.1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 9 - 6 + 15$

解题步骤 2.1.3.1.3.8

从 $- 9$ 中减去 $6$ 。

$- 15 + 15$

解题步骤 2.1.3.1.3.9

将 $- 15$ 和 $15$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.3.1.4

因为 $- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15}{x + 3}$

解题步骤 2.1.3.1.5

用 $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ 除以 $x + 3$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

解题步骤 2.1.3.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$

解题步骤 2.1.3.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			+	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 6 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 2.1.3.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 2.1.3.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 2.1.3.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - 3 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 2.1.3.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$

解题步骤 2.1.3.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$

解题步骤 2.1.3.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $5 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$

解题步骤 2.1.3.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	+	$15$

解题步骤 2.1.3.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x + 15$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	-	$15$

解题步骤 2.1.3.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	-	$15$
										$0$

解题步骤 2.1.3.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} - x + 5$

解题步骤 2.1.3.1.6

将 $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ 书写为因数的集合。

$x ((x + 3) ((x + 3) (2 x^{2} - x + 5))) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

去掉多余的括号。

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.4

因数。

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解题步骤 2.1.4.1

合并同类因式。

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解题步骤 2.1.4.1.1

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.4.1.2

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x ({(x + 3)}^{1 + 1} (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x ({(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.4.2

去掉多余的括号。

$x {(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$2 x^{2} - x + 5 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 ${(x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x + 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.4.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.5

将 $2 x^{2} - x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 x^{2} - x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - x + 5 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - x + 5 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $a = 2$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 5$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3

化简。

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解题步骤 2.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 40}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $40$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 39}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.4

将 $- 39$ 重写为 $- 1 (39)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (39)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{39}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{39}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{39}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{39}}{4}$

解题步骤 2.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{39}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{39}}{4}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $x {(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3, \frac{1 + i \sqrt{39}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{39}}{4}$

解题步骤 3

代数 示例

代数示例