代数示例

$x^{8} - 26 x^{4} + 25 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

${(x^{4})}^{2} - 26 x^{4} + 25 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{4}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{4}$ 。

$u^{2} - 26 u + 25 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 26 u + 25$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $25$ ，和为 $- 26$ 。

$- 25, - 1$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 25) (u - 1) = 0$

$(u - 25) (u - 1) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$

$(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{4} - 25 = 0$

$x^{4} - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{4} - 25$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{4} - 25$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 25 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{4} - 25 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $25$ 。

$x^{4} = 25$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{25}$

解题步骤 3.2.3

化简 $\pm \sqrt[4]{25}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{5^{2}}$

解题步骤 3.2.3.2

将 $\sqrt[4]{5^{2}}$ 重写为 $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ 。

$x = \pm \sqrt{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 3.2.3.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \sqrt{5}$

$x = \pm \sqrt{5}$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{5}$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{5}$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

解题步骤 4

将 $x^{4} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{4} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{4} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{4} = 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

解题步骤 4.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

$x = 1, - 1$

$x = 1, - 1$

$x = 1, - 1$

解题步骤 5

最终解为使 $(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

小数形式：

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 1, - 1$

解题步骤 7

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$