代数示例

$x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$

解题步骤 1

将 $x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{7}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x^{4} - 63 x^{5} + 486 x^{3} = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $- 63 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2}) + 486 x^{3} = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $486 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486 = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2})$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (x^{4} - 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486 = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $x^{3} (x^{4} - 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (x^{4} - 63 x^{2} + 486) = 0$

解题步骤 2.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x^{3} ({(x^{2})}^{2} - 63 x^{2} + 486) = 0$

解题步骤 2.1.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x^{3} (u^{2} - 63 u + 486) = 0$

解题步骤 2.1.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 63 u + 486$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $486$ ，和为 $- 63$ 。

$- 54, - 9$

解题步骤 2.1.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$x^{3} ((u - 54) (u - 9)) = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x^{2} - 9)) = 0$

解题步骤 2.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.7

因数。

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解题步骤 2.1.7.1

因数。

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解题步骤 2.1.7.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$x^{3} ((x^{2} - 54) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

解题步骤 2.1.7.1.2

去掉多余的括号。

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

去掉多余的括号。

$x^{3} (x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 54 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 2.3.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 2.3.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 54$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 54$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 54 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 54 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $54$ 。

$x^{2} = 54$

解题步骤 2.4.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{54}$

解题步骤 2.4.2.3

化简 $\pm \sqrt{54}$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

将 $54$ 重写为 $3^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

从 $54$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \pm \sqrt{9 (6)}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

解题步骤 2.4.2.3.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 3 \sqrt{6}$

解题步骤 2.4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 \sqrt{6}$

解题步骤 2.4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 \sqrt{6}$

解题步骤 2.4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x^{3} (x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}, - 3, 3$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 0, 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}, - 3, 3$

小数形式：

$x = 0, 7.34846922 \dots, - 7.34846922 \dots, - 3, 3$

解题步骤 4

代数 示例

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