代数示例

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$

解题步骤 1

将 $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $x^{3} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.2.4

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 5 u - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 6, 1$

解题步骤 2.1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

从 $x (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从 $(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

从 $(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

解题步骤 2.1.9

使用 AC 法来对 $u + u^{2} - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 2.1.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

解题步骤 2.1.10

因数。

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解题步骤 2.1.10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.1.10.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = i, - i, 2, - 3$

解题步骤 3

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