代数示例

2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0

$2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 1

将

u = x^{2}

$u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

2 u^{2} - 9 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 9 u + 4 = 0$

u = x^{2}

$u = x^{2}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8

$a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ 并且它们的和为

b = - 9

$b = - 9$ 。

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解题步骤 2.1.1

从

- 9 u

$- 9 u$ 中分解出因数

- 9

$- 9$ 。

2 u^{2} - 9 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 9 u + 4 = 0$

解题步骤 2.1.2

把

- 9

$- 9$ 重写为

- 1

$- 1$ 加

- 8

$- 8$

2 u^{2} + (- 1 - 8) u + 4 = 0

$2 u^{2} + (- 1 - 8) u + 4 = 0$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0$

2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

(2 u^{2} - 1 u) - 8 u + 4 = 0

$(2 u^{2} - 1 u) - 8 u + 4 = 0$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0$

u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数

2 u - 1

$2 u - 1$ 来因式分解多项式。

(2 u - 1) (u - 4) = 0

$(2 u - 1) (u - 4) = 0$

(2 u - 1) (u - 4) = 0

$(2 u - 1) (u - 4) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

2 u - 1 = 0

$2 u - 1 = 0$

u - 4 = 0

$u - 4 = 0$

解题步骤 4

将

2 u - 1

$2 u - 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

u

$u$ 。

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解题步骤 4.1

将

2 u - 1

$2 u - 1$ 设为等于

0

$0$ 。

2 u - 1 = 0

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解

u

$u$ 的

2 u - 1 = 0

$2 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上

1

$1$ 。

2 u = 1

$2 u = 1$

解题步骤 4.2.2

将

2 u = 1

$2 u = 1$ 中的每一项除以

2

$2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将

2 u = 1

$2 u = 1$ 中的每一项都除以

2

$2$ 。

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用

$u$ 除以

$1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 5

将

$u - 4$ 设为等于

$0$ 并求解

$u$ 。

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解题步骤 5.1

将

$u - 4$ 设为等于

$0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上

$4$ 。

$u = 4$

解题步骤 6

最终解为使

$(2 u - 1) (u - 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{2}, 4$

解题步骤 7

将

$u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

解题步骤 8

求解

$x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 9

求解

$x$ 的方程。

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解题步骤 9.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 9.2

化简

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 9.2.1

将

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.2.2

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.2.3

将

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 9.2.4.1

将

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.2.4.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.2.4.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 9.2.4.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.2.4.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 9.2.4.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 9.2.4.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.2.4.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.4.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 9.2.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.3.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9.3.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10

求解

$x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 4$

解题步骤 11

求解

$x$ 的方程。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 4$

解题步骤 11.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 11.3

化简

$\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 11.3.1

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 11.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.4.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 11.4.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 12

$2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$ 的解是

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$ 。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$

小数形式：

$x = 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots, 2, - 2$

解题步骤 14

代数 示例

代数示例