代数示例

$f (x) = 36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}$

解题步骤 1

将 $36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}$ 设为等于 $0$ 。

$36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$36 - 13 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.2

重写中间项。

$36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.3

重新整理项。

$36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.4

通过完全平方法则对前三项进行因式分解。

${(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $25 x^{2}$ 重写为 ${(5 x)}^{2}$ 。

${(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 6 + x^{2}$ 和 $b = 5 x$ 。

$(6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.7

化简。

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解题步骤 2.1.7.1

使用 AC 法来对 $6 + x^{2} + 5 x$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.7.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $5$ 。

$2, 3$

解题步骤 2.1.7.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.7.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.8

从 $36 x - 13 x^{3} + x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

从 $36 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.8.2

从 $- 13 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x^{5} = 0$

解题步骤 2.1.8.3

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0$

解题步骤 2.1.8.4

从 $x \cdot 36 + x (- 13 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0$

解题步骤 2.1.8.5

从 $x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 - 13 x^{2} + x^{4}) = 0$

解题步骤 2.1.9

重写中间项。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4}) = 0$

解题步骤 2.1.10

重新整理项。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.11

通过完全平方法则对前三项进行因式分解。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.12

将 $25 x^{2}$ 重写为 ${(5 x)}^{2}$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.13

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 6 + x^{2}$ 和 $b = 5 x$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

解题步骤 2.1.14

因数。

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解题步骤 2.1.14.1

化简。

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解题步骤 2.1.14.1.1

使用 AC 法来对 $6 + x^{2} + 5 x$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.14.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $5$ 。

$2, 3$

解题步骤 2.1.14.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

解题步骤 2.1.14.1.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)) = 0$

解题步骤 2.1.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

解题步骤 2.1.15

从 $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ 。

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解题步骤 2.1.15.1

从 $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

解题步骤 2.1.15.2

从 $x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x) = 0$

解题步骤 2.1.15.3

从 $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ 。

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1 + x) = 0$

解题步骤 2.1.16

因数。

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解题步骤 2.1.16.1

使用 AC 法来对 $6 + x^{2} - 5 x$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.16.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 2.1.16.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 2) (x + 3) ((x - 3) (x - 2)) (1 + x) = 0$

解题步骤 2.1.16.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

$1 + x = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.4

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.7

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 。

$1 + x = 0$

解题步骤 2.7.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.8

最终解为使 $(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, - 3, 3, 2, - 1$

解题步骤 3

代数 示例

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