代数示例

$f (x) = \log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$

解题步骤 1

将 $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$ 设为等于 $0$ 。

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{9} ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 3) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$\log_{9} (2 x (x - 2) + 3 (x - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\log_{9} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{9} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

将 $- 4 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$

解题步骤 2.2

使用对数的定义将 $\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$9^{0} = 2 x^{2} - x - 6$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$ 。

$2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$

解题步骤 2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 x^{2} - x - 6 = 1$

解题步骤 2.3.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 2.3.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x^{2} - x - 6 - 1 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

从 $- 6$ 中减去 $1$ 。

$2 x^{2} - x - 7 = 0$

解题步骤 2.3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3.5

将 $a = 2$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 7$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ 。

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解题步骤 2.3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.6.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 7$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.6.1.3

将 $1$ 和 $56$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 2.3.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}, \frac{1 - \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 2.4

排除不能使 $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$ 成立的解。

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

小数形式：

$x = 2.13745860 \dots$

解题步骤 4

代数 示例

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