代数示例

$0 = x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16$

解题步骤 1

将方程重写为 $x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$ 。

$x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

重新组合项。

$- 3 x^{3} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 3 x^{3} - 24 x$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x^{2} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot 8 + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $- 3 x (x^{2}) - 3 x (8)$ 中分解出因数 $- 3 x$ 。

$- 3 x (x^{2} + 8) + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 3 x (x^{2} + 8) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 16 = 0$

解题步骤 2.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 3 x (x^{2} + 8) + u^{2} + 10 u + 16 = 0$

解题步骤 2.5

使用 AC 法来对 $u^{2} + 10 u + 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $16$ ，和为 $10$ 。

$2, 8$

解题步骤 2.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 3 x (x^{2} + 8) + (u + 2) (u + 8) = 0$

解题步骤 2.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

解题步骤 2.7

从 $- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ 中分解出因数 $x^{2} + 8$ 。

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解题步骤 2.7.1

从 $- 3 x (x^{2} + 8)$ 中分解出因数 $x^{2} + 8$ 。

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

解题步骤 2.7.2

从 $(x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ 中分解出因数 $x^{2} + 8$ 。

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.7.3

从 $(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $x^{2} + 8$ 。

$(x^{2} + 8) (- 3 x + x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x^{2} + 8) (- 3 u + u^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.9

使用 AC 法来对 $- 3 u + u^{2} + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 2.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x^{2} + 8) ((u - 2) (u - 1)) = 0$

解题步骤 2.10

因数。

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解题步骤 2.10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 8) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.10.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 8 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $x^{2} + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{2} + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 8 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 8 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{2} = - 8$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

解题步骤 4.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 8}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

解题步骤 4.2.3.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.3.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 4.2.3.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.2.3.5

从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

解题步骤 5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 7

最终解为使 $(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}, 2, 1$

解题步骤 8

代数 示例

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