代数示例

$y = \cos (\frac{θ}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

解题步骤 1

使用 $a \cos (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $1$

解题步骤 3

使用公式 $\frac{2 π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 3.1

求 $\cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 3.1.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.1.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

解题步骤 3.1.3

$\frac{1}{4}$ 约为 $0.25$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 4$

解题步骤 3.1.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 π$

解题步骤 3.2

求 $- 2$ 的周期。

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解题步骤 3.2.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

解题步骤 3.2.3

$\frac{1}{4}$ 约为 $0.25$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 3.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 4$

解题步骤 3.2.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 π$

解题步骤 3.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$8 π$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 4.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $- \frac{π}{4} \cdot 4$

解题步骤 4.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

相移： $\frac{- π}{4} \cdot 4$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

相移： $\frac{- π}{4} \cdot 4$

解题步骤 4.4.3

重写表达式。

相移： $- π$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $1$

周期： $8 π$

相移：： $- π$ （ $π$ 向左移动）

垂直位移： $- 2$

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = - π$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $- π$ 替换变量 $x$ 。

$f (- π) = \cos (\frac{- π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (- π) = \cos (\frac{- π + π}{4}) - 2$

解题步骤 6.1.2.1.2

将 $- π$ 和 $π$ 相加。

$f (- π) = \cos (\frac{0}{4}) - 2$

解题步骤 6.1.2.1.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$f (- π) = \cos (0) - 2$

解题步骤 6.1.2.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (- π) = 1 - 2$

解题步骤 6.1.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (- π) = - 1$

解题步骤 6.1.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.2

求在 $x = π$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (π) = \cos (\frac{π + π}{4}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{4}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (π) = \cos (\frac{2 (π)}{4}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.3.2.2

约去公因数。

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.3.2.3

重写表达式。

$f (π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

解题步骤 6.2.2.1.4

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (π) = 0 - 2$

解题步骤 6.2.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (π) = - 2$

解题步骤 6.2.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.3

求在 $x = 3 π$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $3 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π + π}{4}) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.3.1

约去公因数。

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (3 π) = \cos (π) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (3 π) = - \cos (0) - 2$

解题步骤 6.3.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (3 π) = - 1 \cdot 1 - 2$

解题步骤 6.3.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (3 π) = - 1 - 2$

解题步骤 6.3.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f (3 π) = - 3$

解题步骤 6.3.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6.4

求在 $x = 5 π$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $5 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π + π}{4}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.2

将 $5 π$ 和 $π$ 相加。

$f (5 π) = \cos (\frac{6 π}{4}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.3

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.3.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.3.2.2

约去公因数。

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.3.2.3

重写表达式。

$f (5 π) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (5 π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

解题步骤 6.4.2.1.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (5 π) = 0 - 2$

解题步骤 6.4.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (5 π) = - 2$

解题步骤 6.4.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 6.5

求在 $x = 7 π$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的 $7 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.5.2.1.1

在公分母上合并分子。

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π + π}{4}) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.2

将 $7 π$ 和 $π$ 相加。

$f (7 π) = \cos (\frac{8 π}{4}) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.3

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.3.1

从 $8 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4}) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)}) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.3.2.2

约去公因数。

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1}) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.3.2.3

重写表达式。

$f (7 π) = \cos (\frac{2 π}{1}) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.3.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$f (7 π) = \cos (2 π) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (7 π) = \cos (0) - 2$

解题步骤 6.5.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (7 π) = 1 - 2$

解题步骤 6.5.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (7 π) = - 1$

解题步骤 6.5.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $1$

周期： $8 π$

相移：： $- π$ （ $π$ 向左移动）

垂直位移： $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

解题步骤 8

代数 示例

代数示例