代数示例

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

解题步骤 1

求给定函数的值域。

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解题步骤 1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

$[- 7, \infty)$

解题步骤 1.2

将 $[- 7, \infty)$ 转换为不等式。

$y \geq - 7$

解题步骤 2

求反函数。

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解题步骤 2.1

交换变量。

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

解题步骤 2.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ 。

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

解题步骤 2.2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

解题步骤 2.2.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.2.4

将 $a = 2$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 1 - x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.4

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.6

从 $64$ 中减去 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.7

从 $56 + 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 2.2.5.1.7.1

从 $56$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.7.2

从 $8 \cdot 7 + 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.8

将 $8 (7 + x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ 。

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解题步骤 2.2.5.1.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

解题步骤 2.2.5.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

解题步骤 2.2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.4

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.6

从 $64$ 中减去 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.7

从 $56 + 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 2.2.6.1.7.1

从 $56$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.7.2

从 $8 \cdot 7 + 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.8

将 $8 (7 + x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ 。

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解题步骤 2.2.6.1.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

解题步骤 2.2.6.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

解题步骤 2.2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

解题步骤 2.2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.7.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.4

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.6

从 $64$ 中减去 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.7

从 $56 + 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

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解题步骤 2.2.7.1.7.1

从 $56$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.7.2

从 $8 \cdot 7 + 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.8

将 $8 (7 + x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ 。

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解题步骤 2.2.7.1.8.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.8.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.8.3

添加圆括号。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.1.9

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

解题步骤 2.2.7.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

解题步骤 2.2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

解题步骤 2.2.8

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

解题步骤 2.3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

解题步骤 3

利用原函数的定义域和值域求反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

解题步骤 4

代数 示例

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