代数示例

$\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x + 1, x, 20$

解题步骤 1.2

因为 $x + 1, x, 20$ 包含有数字和变量，所以求最小公倍数 (LCM) 需要经过四个步骤。求数字、变量和复合变量部分的最小公倍数。然后，将它们相乘。

求 $x + 1, x, 20$ 的最小公倍数的步骤：

1. 求数值部分 $1, 1, 20$ 的最小公倍数 (LCM)。

2. 求变量部分 $x^{1}$ 的最小公倍数 (LCM)。

3. 求复变量部分 $x + 1$ 的最小公倍数 (LCM)。

4. 把每个最小公倍数 (LCM) 相乘。

解题步骤 1.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.5

$20$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 5$ 。

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解题步骤 1.5.1

$20$ 具有因式 $2$ 和 $10$ 。

$2 \cdot 10$

解题步骤 1.5.2

$10$ 具有因式 $2$ 和 $5$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 5$

解题步骤 1.6

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 5$ 。

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解题步骤 1.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 5$

解题步骤 1.6.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20$

解题步骤 1.7

$x^{1}$ 的因式是 $x$ 本身。

$x^{1} = x$

$x$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.8

$x^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x$

解题步骤 1.9

$x + 1$ 的因式是 $x + 1$ 本身。

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.10

$x + 1$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$x + 1$

解题步骤 1.11

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$20 x (x + 1)$

解题步骤 2

将 $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ 中的每一项乘以 $20 x (x + 1)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ 中的每一项乘以 $20 x (x + 1)$ 。

$\frac{x}{x + 1} (20 x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$20 \frac{x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.2

组合 $20$ 和 $\frac{x}{x + 1}$ 。

$\frac{20 x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.3

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.1

从 $x (x + 1)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.3.2

约去公因数。

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.3.3

重写表达式。

$20 x \cdot x - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 (x^{1} x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 (x^{1} x^{1}) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 x^{1 + 1} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$20 x^{2} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.8.1

将 $- \frac{x - 1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.8.2

从 $20 x (x + 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.8.3

约去公因数。

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.8.4

重写表达式。

$20 x^{2} - (x - 1) (20 (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.9

将 $20$ 乘以 $- 1$ 。

$20 x^{2} - 20 (x - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.10

运用分配律。

$20 x^{2} + (- 20 x - 20 \cdot - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.11

将 $- 20$ 乘以 $- 1$ 。

$20 x^{2} + (- 20 x + 20) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.12

使用 FOIL 方法展开 $(- 20 x + 20) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1.12.1

运用分配律。

$20 x^{2} - 20 x (x + 1) + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.12.2

运用分配律。

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.12.3

运用分配律。

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.1.13.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.13.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.13.1.1.1

移动 $x$ 。

$20 x^{2} - 20 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.13.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.13.1.2

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.13.1.3

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.13.2

将 $- 20 x$ 和 $20 x$ 相加。

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.1.13.3

将 $- 20 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $20 x^{2}$ 中减去 $20 x^{2}$ 。

$0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.2.2.2

将 $0$ 和 $20$ 相加。

$20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $20 x (x + 1)$ 中分解出因数 $20$ 。

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

解题步骤 2.3.1.3

重写表达式。

$20 = x (x + 1)$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$20 = x \cdot x + x \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$20 = x^{2} + x \cdot 1$

解题步骤 2.3.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$20 = x^{2} + x$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} + x = 20$ 。

$x^{2} + x = 20$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $20$ 。

$x^{2} + x - 20 = 0$

解题步骤 3.3

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $1$ 。

$- 4, 5$

解题步骤 3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 4) (x + 5) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 3.6

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 3.7

最终解为使 $(x - 4) (x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 5$

代数 示例

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