代数示例

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

解题步骤 1

将所有不包含 $x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 1.1

从不等式两边同时减去 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} - \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2

要将 $\frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 1.3

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{x} < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 1.4.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 1.4.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{3 \cdot 5}$

解题步骤 1.4.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{15}$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x} < \frac{3 - 5}{15}$

解题步骤 1.6

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$\frac{1}{x} < \frac{- 2}{15}$

解题步骤 1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x} < - \frac{2}{15}$

解题步骤 2

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

解题步骤 3.1.1.2

重写表达式。

$1 = - \frac{2}{15} x$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $- \frac{2}{15} x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{15}$ 。

$1 = - \frac{x \cdot 2}{15}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$1 = - \frac{2 x}{15}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \frac{2 x}{15} = 1$ 。

$- \frac{2 x}{15} = 1$

解题步骤 4.2

等式两边同时乘以 $- \frac{15}{2}$ 。

$- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.1

化简 $- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15})$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.1.1

将 $- \frac{15}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.1.2

将 $- \frac{2 x}{15}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 15}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.1.3

从 $- 15$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{15 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{15 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{2} (- 2 x) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.2.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$- - x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.3

乘。

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解题步骤 4.3.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.1.1.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x = - \frac{15}{2}$

解题步骤 5

求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{15}$ 的定义域。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 5.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

使用每一个根建立验证区间。

$x < - \frac{15}{2}$

$- \frac{15}{2} < x < 0$

$x > 0$

解题步骤 7

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 7.1

检验区间 $x < - \frac{15}{2}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 7.1.1

选择区间 $x < - \frac{15}{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 10$

解题步骤 7.1.2

使用原不等式中的 $- 10$ 替换 $x$ 。

$\frac{1}{- 10} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

解题步骤 7.1.3

左边的 $0.2\overline{3}$ 不小于右边的 $0.2$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 7.2

检验区间 $- \frac{15}{2} < x < 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 7.2.1

选择区间 $- \frac{15}{2} < x < 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 7.2.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$\frac{1}{- 4} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

解题步骤 7.2.3

左边的 $0.08\overline{3}$ 小于右边的 $0.2$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 7.3

检验区间 $x > 0$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 7.3.1

选择区间 $x > 0$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 2$

解题步骤 7.3.2

使用原不等式中的 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

解题步骤 7.3.3

左边的 $0.8\overline{3}$ 不小于右边的 $0.2$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 7.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - \frac{15}{2}$ 为假

$- \frac{15}{2} < x < 0$ 为真

$x > 0$ 为假

$x < - \frac{15}{2}$ 为假

$- \frac{15}{2} < x < 0$ 为真

$x > 0$ 为假

解题步骤 8

解由使等式成立的所有区间组成。

$- \frac{15}{2} < x < 0$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$- \frac{15}{2} < x < 0$

区间计数法：

$(- \frac{15}{2}, 0)$

解题步骤 10

代数 示例

代数示例