代数示例

$6 x^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} \leq 36$ $x^{2} + {(y + 3)}^{2} \leq 25$

解题步骤 1

从不等式两边同时减去 $6 x^{2}$ 。

$9 {(y - 2)}^{2} \leq 36 - 6 x^{2}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

${(y + 3)}^{2} \leq 25 - x^{2}$

解题步骤 2.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{{(y + 3)}^{2}} \leq \sqrt{25 - x^{2}}$

解题步骤 2.3

化简方程。

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解题步骤 2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.1

从根式下提出各项。

$| y + 3 | \leq \sqrt{25 - x^{2}}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 $\sqrt{25 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| y + 3 | \leq \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$| y + 3 | \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 2.4

将 $| y + 3 | \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$y + 3 \geq 0$

解题步骤 2.4.2

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$y \geq - 3$

解题步骤 2.4.3

在 $y + 3$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$y + 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 2.4.4

求 $y + 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 的定义域，并求与 $y \geq - 3$ 的交点。

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解题步骤 2.4.4.1

求 $y + 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 2.4.4.1.1

将 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(5 + x) (5 - x) \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.4.1.2.1

化简 $(5 + x) (5 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.4.1.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 + x) (5 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.4.1.2.1.1.1

运用分配律。

$5 (5 - x) + x (5 - x) \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.1.2

运用分配律。

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.1.3

运用分配律。

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.1.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$25 - 5 x + 5 x - x \cdot x \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$25 - 5 x + 5 x - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.2

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$25 + 0 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.1.2.3

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$25 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.2

从不等式两边同时减去 $25$ 。

$- x^{2} \geq - 25$

解题步骤 2.4.4.1.2.3

将 $- x^{2} \geq - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.4.1.2.3.1

将 $- x^{2} \geq - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.4.4.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.4.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.4.4.1.2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.4.4.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.4.1.2.3.3.1

用 $- 25$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 25$

解题步骤 2.4.4.1.2.4

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

解题步骤 2.4.4.1.2.5

化简方程。

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解题步骤 2.4.4.1.2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.4.1.2.5.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{25}$

解题步骤 2.4.4.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.4.1.2.5.2.1

化简 $\sqrt{25}$ 。

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解题步骤 2.4.4.1.2.5.2.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 2.4.4.1.2.5.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 5 |$

解题步骤 2.4.4.1.2.5.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$| x | \leq 5$

解题步骤 2.4.4.1.2.6

将 $| x | \leq 5$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.4.4.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 5$

解题步骤 2.4.4.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 5$

解题步骤 2.4.4.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.4.4.1.2.7

求 $x \leq 5$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 5$

解题步骤 2.4.4.1.2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 5$ 。

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解题步骤 2.4.4.1.2.8.1

将 $- x \leq 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.4.1.2.8.1.1

将 $- x \leq 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.4.4.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.4.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.4.4.1.2.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.4.4.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.4.1.2.8.1.3.1

用 $5$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 5$

解题步骤 2.4.4.1.2.8.2

求 $x \geq - 5$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 5 \leq x < 0$

解题步骤 2.4.4.1.2.9

求解的并集。

$- 5 \leq x \leq 5$

解题步骤 2.4.4.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

$[- 5, 5]$

解题步骤 2.4.4.2

求 $y \geq - 3$ 和 $[- 5, 5]$ 的交点。

$- 3 \leq y \leq 5$

解题步骤 2.4.5

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$y + 3 < 0$

解题步骤 2.4.6

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$y < - 3$

解题步骤 2.4.7

在 $y + 3$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- (y + 3) \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 2.4.8

求 $- (y + 3) \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 的定义域，并求与 $y < - 3$ 的交点。

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解题步骤 2.4.8.1

求 $- (y + 3) \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 2.4.8.1.1

将 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(5 + x) (5 - x) \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.8.1.2.1

化简 $(5 + x) (5 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.8.1.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 + x) (5 - x)$ 。

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解题步骤 2.4.8.1.2.1.1.1

运用分配律。

$5 (5 - x) + x (5 - x) \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.1.2

运用分配律。

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.1.3

运用分配律。

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.1.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$25 - 5 x + 5 x - x \cdot x \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$25 - 5 x + 5 x - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.2

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$25 + 0 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.1.2.3

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$25 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.2

从不等式两边同时减去 $25$ 。

$- x^{2} \geq - 25$

解题步骤 2.4.8.1.2.3

将 $- x^{2} \geq - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.8.1.2.3.1

将 $- x^{2} \geq - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.4.8.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.8.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.4.8.1.2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.4.8.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.8.1.2.3.3.1

用 $- 25$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 25$

解题步骤 2.4.8.1.2.4

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

解题步骤 2.4.8.1.2.5

化简方程。

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解题步骤 2.4.8.1.2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.8.1.2.5.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{25}$

解题步骤 2.4.8.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.8.1.2.5.2.1

化简 $\sqrt{25}$ 。

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解题步骤 2.4.8.1.2.5.2.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 2.4.8.1.2.5.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 5 |$

解题步骤 2.4.8.1.2.5.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$| x | \leq 5$

解题步骤 2.4.8.1.2.6

将 $| x | \leq 5$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.4.8.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 5$

解题步骤 2.4.8.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 5$

解题步骤 2.4.8.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.4.8.1.2.7

求 $x \leq 5$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 5$

解题步骤 2.4.8.1.2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 5$ 。

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解题步骤 2.4.8.1.2.8.1

将 $- x \leq 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.8.1.2.8.1.1

将 $- x \leq 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.4.8.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.8.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.4.8.1.2.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.4.8.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.8.1.2.8.1.3.1

用 $5$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 5$

解题步骤 2.4.8.1.2.8.2

求 $x \geq - 5$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 5 \leq x < 0$

解题步骤 2.4.8.1.2.9

求解的并集。

$- 5 \leq x \leq 5$

解题步骤 2.4.8.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

$[- 5, 5]$

解题步骤 2.4.8.2

求 $y < - 3$ 和 $[- 5, 5]$ 的交点。

$- 5 \leq y < - 3$

解题步骤 2.4.9

书写为分段式。

${\begin{cases} y + 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} & - 3 \leq y \leq 5 \\ - (y + 3) \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} & - 5 \leq y < - 3 \end{cases}$

解题步骤 2.4.10

化简 $- (y + 3) \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

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解题步骤 2.4.10.1

运用分配律。

${\begin{cases} y + 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} & - 3 \leq y \leq 5 \\ - y - 1 \cdot 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} & - 5 \leq y < - 3 \end{cases}$

解题步骤 2.4.10.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

${\begin{cases} y + 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} & - 3 \leq y \leq 5 \\ - y - 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} & - 5 \leq y < - 3 \end{cases}$

解题步骤 2.5

当 $- 3 \leq y \leq 5$ 时求解 $y + 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

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解题步骤 2.5.1

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} - 3$

解题步骤 2.5.2

求 $y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} - 3$ 和 $- 3 \leq y \leq 5$ 的交点。

$- 3 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

解题步骤 2.6

当 $- 5 \leq y < - 3$ 时求解 $- y - 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

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解题步骤 2.6.1

求解 $y$ 的 $- y - 3 \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

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解题步骤 2.6.1.1

在不等式两边同时加上 $3$ 。

$- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 3$

解题步骤 2.6.1.2

将 $- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{- 1} + \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{- 1} + \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.1.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y \geq \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{- 1} + \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.1.2.3.1.1

移动 $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.1.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 重写为 $- \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 。

$y \geq - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{3}{- 1}$

解题步骤 2.6.1.2.3.1.3

用 $3$ 除以 $- 1$ 。

$y \geq - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} - 3$

解题步骤 2.6.2

求 $y \geq - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} - 3$ 和 $- 5 \leq y < - 3$ 的交点。

无解

解题步骤 2.7

求解的并集。

$- 3 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

解题步骤 3

在同一坐标系上绘制出每一个图像。

$6 x^{2} + 9 {(y - 2)}^{2} \leq 36$

$x^{2} + {(y + 3)}^{2} \leq 25$

解题步骤 4

代数 示例

代数示例