代数示例

$- x^{8} + 4 x^{6} - 5 x^{4} + 2 x^{2}$

解题步骤 1

从 $- x^{8} + 4 x^{6} - 5 x^{4} + 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

从 $- x^{8}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- x^{6}) + 4 x^{6} - 5 x^{4} + 2 x^{2}$

解题步骤 1.2

从 $4 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- x^{6}) + x^{2} (4 x^{4}) - 5 x^{4} + 2 x^{2}$

解题步骤 1.3

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- x^{6}) + x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 5 x^{2}) + 2 x^{2}$

解题步骤 1.4

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- x^{6}) + x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 5 x^{2}) + x^{2} \cdot 2$

解题步骤 1.5

从 $x^{2} (- x^{6}) + x^{2} (4 x^{4})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- x^{6} + 4 x^{4}) + x^{2} (- 5 x^{2}) + x^{2} \cdot 2$

解题步骤 1.6

从 $x^{2} (- x^{6} + 4 x^{4}) + x^{2} (- 5 x^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- x^{6} + 4 x^{4} - 5 x^{2}) + x^{2} \cdot 2$

解题步骤 1.7

从 $x^{2} (- x^{6} + 4 x^{4} - 5 x^{2}) + x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- x^{6} + 4 x^{4} - 5 x^{2} + 2)$

解题步骤 2

使用有理根检验法因式分解 $- x^{6} + 4 x^{4} - 5 x^{2} + 2$ 。

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解题步骤 2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$- {(- 1)}^{6} + 4 {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 2.3.2

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 + 4 {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 4 {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 2.3.4

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 1 + 4 \cdot 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 2.3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 4 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$3 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

解题步骤 2.3.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 - 5 \cdot 1 + 2$

解题步骤 2.3.8

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$3 - 5 + 2$

解题步骤 2.3.9

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$- 2 + 2$

解题步骤 2.3.10

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{6} + 4 x^{4} - 5 x^{2} + 2}{x + 1}$

解题步骤 2.5

用 $- x^{6} + 4 x^{4} - 5 x^{2} + 2$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

解题步骤 2.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{6}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

解题步骤 2.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

解题步骤 2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{6} - x^{5}$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

解题步骤 2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

解题步骤 2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

解题步骤 2.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

解题步骤 2.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

解题步骤 2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} + x^{4}$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

解题步骤 2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

解题步骤 2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

解题步骤 2.5.12

将被除数中的最高阶项 $3 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

解题步骤 2.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{4} + 3 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

解题步骤 2.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 2.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 2.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

解题步骤 2.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

解题步骤 2.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

解题步骤 2.5.21

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 2.5.22

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 2.5.23

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

解题步骤 2.5.24

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

解题步骤 2.5.25

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

解题步骤 2.5.26

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

解题步骤 2.5.27

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

解题步骤 2.5.28

将新的商式项乘以除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

解题步骤 2.5.29

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x + 2$ 中的所有符号

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

解题步骤 2.5.30

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

$0$

解题步骤 2.5.31

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{5} + x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 2$

解题步骤 2.6

将 $- x^{6} + 4 x^{4} - 5 x^{2} + 2$ 书写为因数的集合。

$x^{2} ((x + 1) (- x^{5} + x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 2))$

解题步骤 3

重新组合项。

$x^{2} ((x + 1) (- x^{5} + 3 x^{3} - 2 x + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 4

从 $- x^{5} + 3 x^{3} - 2 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 4.1

从 $- x^{5}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{4}) + 3 x^{3} - 2 x + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 4.2

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{4}) - x (- 3 x^{2}) - 2 x + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 4.3

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{4}) - x (- 3 x^{2}) - x (2) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 4.4

从 $- x (x^{4}) - x (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $- x$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{4} - 3 x^{2}) - x (2) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 4.5

从 $- x (x^{4} - 3 x^{2}) - x (2)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{4} - 3 x^{2} + 2) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} + 2) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (u^{2} - 3 u + 2) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 7

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 7.2

使用这些整数书写分数形式。

$x^{2} ((x + 1) (- x ((u - 2) (u - 1)) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1)) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1^{2})) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

因数。

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解题步骤 10.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x ((x^{2} - 2) ((x + 1) (x - 1))) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 10.1.2

去掉多余的括号。

$x^{2} ((x + 1) (- x ((x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 11

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} + 2))$

解题步骤 12

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 3 u + 2))$

解题步骤 13

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 13.2

使用这些整数书写分数形式。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + (u - 2) (u - 1)))$

解题步骤 14

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 1)))$

解题步骤 15

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 1^{2})))$

解题步骤 16

因数。

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解题步骤 16.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2) ((x + 1) (x - 1))))$

解题步骤 16.2

去掉多余的括号。

$x^{2} ((x + 1) (- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)))$

解题步骤 17

从 $- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 17.1

从 $- x (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)$ 。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) (- x) + (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)))$

解题步骤 17.2

从 $(x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)$ 。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) (- x) + (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) (1)))$

解题步骤 17.3

从 $(x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) (- x) + (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) (1)$ 中分解出因数 $(x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)$ 。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1) (- x + 1)))$

解题步骤 18

合并指数。

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解题步骤 18.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) (- 1 (- x) - 1) (- x + 1)))$

解题步骤 18.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) (- 1 (- x) - 1 (1)) (- x + 1)))$

解题步骤 18.3

从 $- 1 (- x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) (- 1 (- x + 1)) (- x + 1)))$

解题步骤 18.4

去掉圆括号。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) \cdot - 1 (- x + 1) (- x + 1)))$

解题步骤 18.5

对 $- x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) \cdot - 1 ({(- x + 1)}^{1} (- x + 1))))$

解题步骤 18.6

对 $- x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) \cdot - 1 ({(- x + 1)}^{1} {(- x + 1)}^{1})))$

解题步骤 18.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) \cdot - 1 {(- x + 1)}^{1 + 1}))$

解题步骤 18.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} ((x + 1) ((x^{2} - 2) (x + 1) \cdot - 1 {(- x + 1)}^{2}))$

解题步骤 19

因数。

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解题步骤 19.1

因数。

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解题步骤 19.1.1

因数。

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解题步骤 19.1.1.1

提取负因数。

$x^{2} ((x + 1) (- ((x^{2} - 2) (x + 1) {(- x + 1)}^{2})))$

解题步骤 19.1.1.2

去掉多余的括号。

$x^{2} ((x + 1) (- (x^{2} - 2) (x + 1) {(- x + 1)}^{2}))$

解题步骤 19.1.2

去掉多余的括号。

$x^{2} ((x + 1) \cdot - 1 (x^{2} - 2) (x + 1) {(- x + 1)}^{2})$

解题步骤 19.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (x + 1) \cdot - 1 (x^{2} - 2) (x + 1) {(- x + 1)}^{2}$

解题步骤 20

合并指数。

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解题步骤 20.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) {(- x + 1)}^{2}$

解题步骤 20.2

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) {(- x + 1)}^{2}$

解题步骤 20.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{1 + 1} {(- x + 1)}^{2}$

解题步骤 20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(- x + 1)}^{2}$

解题步骤 21

从 $- x + 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 21.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(- (x) + 1)}^{2}$

解题步骤 21.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(- (x) - 1 (- 1))}^{2}$

解题步骤 21.3

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(- (x - 1))}^{2}$

解题步骤 22

因数。

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解题步骤 22.1

对 $- (x - 1)$ 运用乘积法则。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} ({(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

解题步骤 22.2

去掉多余的括号。

$x^{2} \cdot - 1 (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 23

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 23.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$x^{2} \cdot ({(- 1)}^{2} \cdot - 1) (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 23.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 23.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} \cdot ({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1}) (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 23.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} \cdot {(- 1)}^{2 + 1} (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 23.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} \cdot {(- 1)}^{3} (x^{2} - 2) {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

代数 示例

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