代数示例

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4} \leq 0$

解题步骤 1

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

解题步骤 2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $5$ 。

$1, 4$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) (x + 4) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 8

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 9

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 10

最终解为使 $(x + 1) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, - 4$

解题步骤 11

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = 1, - 1$

$x = - 1, - 4$

解题步骤 12

合并解集。

$x = 1, - 1, - 1, - 4$

解题步骤 13

求 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ 的定义域。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

解题步骤 13.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 13.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 13.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $5$ 。

$1, 4$

解题步骤 13.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) (x + 4) = 0$

解题步骤 13.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 13.2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.2.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 13.2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 13.2.4

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.2.4.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 13.2.4.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 13.2.5

最终解为使 $(x + 1) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, - 4$

解题步骤 13.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, \infty)$

解题步骤 14

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

解题步骤 15

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 15.1

检验区间 $x < - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 15.1.1

选择区间 $x < - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 6$

解题步骤 15.1.2

使用原不等式中的 $- 6$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{{(- 6)}^{2} + 5 (- 6) + 4} \leq 0$

解题步骤 15.1.3

左边的 $3.5$ 大于右边的 $0$ ，即表示给定命题是假命题。

假

解题步骤 15.2

检验区间 $- 4 < x < - 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 15.2.1

选择区间 $- 4 < x < - 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 2$

解题步骤 15.2.2

使用原不等式中的 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{{(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 4} \leq 0$

解题步骤 15.2.3

左边的 $- 1.5$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 15.3

检验区间 $- 1 < x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 15.3.1

选择区间 $- 1 < x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 15.3.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4} \leq 0$

解题步骤 15.3.3

左边的 $- 0.25$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 15.4

检验区间 $x > 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 15.4.1

选择区间 $x > 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 15.4.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{{(4)}^{2} + 5 (4) + 4} \leq 0$

解题步骤 15.4.3

左边的 $0.375$ 大于右边的 $0$ ，即表示给定命题是假命题。

假

解题步骤 15.5

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 4$ 为假

$- 4 < x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为真

$x > 1$ 为假

$x < - 4$ 为假

$- 4 < x < - 1$ 为真

$- 1 < x < 1$ 为真

$x > 1$ 为假

解题步骤 16

解由使等式成立的所有区间组成。

$- 4 < x < - 1$ 或 $- 1 < x \leq 1$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$- 4 < x < - 1 or - 1 < x \leq 1$

区间计数法：

$(- 4, - 1) \cup (- 1, 1]$

解题步骤 18

代数 示例

代数示例