代数示例

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = x$

解题步骤 2.2

等式两边同时乘以 $4$ 。

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

约去公因数。

$4 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{4} = 4 x$

解题步骤 2.3.1.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{2}} = 4 x$

解题步骤 2.4

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

解题步骤 2.5

化简指数。

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解题步骤 2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

解题步骤 2.5.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

解题步骤 2.5.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(4 x)}^{2}$

解题步骤 2.5.1.1.2

化简。

$y = {(4 x)}^{2}$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 ${(4 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$y = 4^{2} x^{2}$

解题步骤 2.5.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 16 x^{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ 是否为 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 {(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4})}^{2}$

解题步骤 4.2.3

对 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}})$

解题步骤 4.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

解题步骤 4.2.4.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}})$

解题步骤 4.2.4.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

解题步骤 4.2.4.2

化简。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{4^{2}})$

解题步骤 4.2.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.5.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

解题步骤 4.2.5.2

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = 16 (\frac{x}{16})$

解题步骤 4.2.5.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (16 x^{2})$ 。

$f (16 x^{2}) = \frac{{(16 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.1

对 $16 x^{2}$ 运用乘积法则。

$f (16 x^{2}) = \frac{16^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (16 x^{2}) = \frac{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.3.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.4.1

约去公因数。

$f (16 x^{2}) = \frac{4^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.3.4.2

重写表达式。

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.3.5

计算指数。

$f (16 x^{2}) = \frac{4 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 4.3.3.6

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

解题步骤 4.3.3.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.6.2.1

约去公因数。

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x^{2 (\frac{1}{2})}}{4}$

解题步骤 4.3.3.6.2.2

重写表达式。

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 4.3.3.7

化简。

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 4.3.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

约去公因数。

$f (16 x^{2}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 4.3.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (16 x^{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$ 为 $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2}$

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