代数示例

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 (t^{2} - 9) = - 5$

解题步骤 1

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 1.1

化简左边。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} + 16 \cdot - 9 = - 5$

解题步骤 1.1.1.2

将 $16$ 乘以 $- 9$ 。

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 = - 5$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3

化简 $3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5$ 。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 ${(t^{2} - 9)}^{2}$ 重写为 $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ 。

$3 ((t^{2} - 9) (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

运用分配律。

$3 (t^{2} (t^{2} - 9) - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.2.2

运用分配律。

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.2.3

运用分配律。

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.3.1.1

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$3 (t^{4} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.3.1.2

将 $- 9$ 移到 $t^{2}$ 的左侧。

$3 (t^{4} - 9 \cdot t^{2} - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.3.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$3 (t^{4} - 9 t^{2} - 9 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.3.2

从 $- 9 t^{2}$ 中减去 $9 t^{2}$ 。

$3 (t^{4} - 18 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.4

运用分配律。

$3 t^{4} + 3 (- 18 t^{2}) + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.5

化简。

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解题步骤 1.3.1.5.1

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.1.5.2

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 243 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.2

将 $- 54 t^{2}$ 和 $16 t^{2}$ 相加。

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 243 - 144 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.3

从 $243$ 中减去 $144$ 。

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 99 + 5 = 0$

解题步骤 1.3.4

将 $99$ 和 $5$ 相加。

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$

解题步骤 2

将 $u = t^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

$u = t^{2}$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 104 = 312$ 并且它们的和为 $b = - 38$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $- 38 u$ 中分解出因数 $- 38$ 。

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

解题步骤 3.1.2

把 $- 38$ 重写为 $- 12$ 加 $- 26$

$3 u^{2} + (- 12 - 26) u + 104 = 0$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$3 u^{2} - 12 u - 26 u + 104 = 0$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 u^{2} - 12 u) - 26 u + 104 = 0$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 u (u - 4) - 26 (u - 4) = 0$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $u - 4$ 来因式分解多项式。

$(u - 4) (3 u - 26) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

$3 u - 26 = 0$

解题步骤 5

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$u = 4$

解题步骤 6

将 $3 u - 26$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

将 $3 u - 26$ 设为等于 $0$ 。

$3 u - 26 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $u$ 的 $3 u - 26 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $26$ 。

$3 u = 26$

解题步骤 6.2.2

将 $3 u = 26$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $3 u = 26$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{26}{3}$

解题步骤 7

最终解为使 $(u - 4) (3 u - 26) = 0$ 成立的所有值。

$u = 4, \frac{26}{3}$

解题步骤 8

将 $u = t^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$t^{2} = 4$

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

解题步骤 9

求解 $t$ 的第一个方程。

$t^{2} = 4$

解题步骤 10

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 10.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$t = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 10.2

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$t = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 10.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$t = \pm 2$

解题步骤 10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = 2$

解题步骤 10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - 2$

解题步骤 10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = 2, - 2$

解题步骤 11

求解 $t$ 的第二个方程。

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

解题步骤 12

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$t^{2} = \frac{26}{3}$

解题步骤 12.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$t = \pm \sqrt{\frac{26}{3}}$

解题步骤 12.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{26}{3}}$ 。

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解题步骤 12.3.1

将 $\sqrt{\frac{26}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 12.3.2

将 $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 12.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 12.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 12.3.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 12.3.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 12.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 12.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 12.3.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 12.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 12.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 12.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.3.6.4.1

约去公因数。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.6.4.2

重写表达式。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 12.3.3.6.5

计算指数。

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 12.3.4

化简分子。

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解题步骤 12.3.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$t = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 12.3.4.2

将 $26$ 乘以 $3$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{78}}{3}$

解题步骤 12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}$

解题步骤 12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - \frac{\sqrt{78}}{3}$

解题步骤 12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

解题步骤 13

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$ 的解是 $t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$ 。

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

小数形式：

$t = 2, - 2, 2.94392028 \dots, - 2.94392028 \dots$

代数 示例

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