代数示例

$\sqrt{2} \cdot x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$

解题步骤 1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2

将 $a = \sqrt{2}$ 、 $b = 7$ 和 $c = 5 \sqrt{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2}))}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.3

乘以 $- 20 \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.4.1

约去公因数。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.4.4.2

重写表达式。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.4.5

计算指数。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.5

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.6

从 $49$ 中减去 $40$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.7

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 3.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 3.3.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.7.4.1

约去公因数。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.7.4.2

重写表达式。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.7.5

计算指数。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.5

从 $- 7 \pm 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (- (- 7 \pm 3)) \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{1 (- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.7

将 $- 7 \pm 3$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.8

将 $\frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ 中的因式重新排序。

$x = \frac{\sqrt{2} (- 7 \pm 3)}{4}$

解题步骤 4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

小数形式：

$x = - 1.41421356 \dots, - 3.53553390 \dots$

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