代数示例

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

解题步骤 1.2

从 $x^{4} - x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x - x^{3} - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} + x + 6 = 0$

解题步骤 1.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 7 \cdot 6 = - 42$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $1$ 。

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} + 1 x + 6 = 0$

解题步骤 1.3.1.2

把 $1$ 重写为 $- 6$ 加 $7$

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} + (- 6 + 7) x + 6 = 0$

解题步骤 1.3.1.3

运用分配律。

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} - 6 x + 7 x + 6 = 0$

解题步骤 1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x^{3} (x - 1) - 7 x^{2} - 6 x + 7 x + 6 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{3} (x - 1) + x (- 7 x - 6) - (- 7 x - 6) = 0$

解题步骤 1.3.3

通过因式分解出最大公因数 $- 7 x - 6$ 来因式分解多项式。

$x^{3} (x - 1) + (- 7 x - 6) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.4

从 $x^{3} (x - 1) + (- 7 x - 6) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

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解题步骤 1.4.1

从 $x^{3} (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) x^{3} + (- 7 x - 6) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.4.2

从 $(- 7 x - 6) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 7 x - 6) = 0$

解题步骤 1.4.3

从 $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 7 x - 6)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (x^{3} - 7 x - 6) = 0$

解题步骤 1.5

因数。

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解题步骤 1.5.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 7 x - 6$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 7 x - 6$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.5.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

解题步骤 1.5.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.5.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 1.5.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 1.5.1.1.3.3

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 7 - 6$

解题步骤 1.5.1.1.3.4

将 $- 1$ 和 $7$ 相加。

$6 - 6$

解题步骤 1.5.1.1.3.5

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0$

解题步骤 1.5.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 7 x - 6}{x + 1}$

解题步骤 1.5.1.1.5

用 $x^{3} - 7 x - 6$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

解题步骤 1.5.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

解题步骤 1.5.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 1.5.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 1.5.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 1.5.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 1.5.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 1.5.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 1.5.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 1.5.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

解题步骤 1.5.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 1.5.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 1.5.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 1.5.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x - 6$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

解题步骤 1.5.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

解题步骤 1.5.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x - 6$

解题步骤 1.5.1.1.6

将 $x^{3} - 7 x - 6$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 6)) = 0$

解题步骤 1.5.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 1.5.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

解题步骤 1.5.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) ((x + 1) (x - 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 1.5.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 7

最终解为使 $(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 1, 3, - 2$

代数 示例

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