代数示例

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$ $g (x) = x + 7$

解题步骤 1

代入 $x + 7$ 替换 $f (x)$ 。

$x + 7 = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 = x + 7$

解题步骤 2.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 - x = 7$

解题步骤 2.2.2

从 $25 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 = 7$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 - 7 = 0$

解题步骤 2.4

从 $- 70$ 中减去 $7$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77 = 0$

解题步骤 2.5

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ 。

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解题步骤 2.5.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.5.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

解题步骤 2.5.3

代入 $- 7$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 7$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $- 7$ 代入多项式。

${(- 7)}^{3} + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

解题步骤 2.5.3.2

对 $- 7$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 343 + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

解题步骤 2.5.3.3

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 343 + 12 \cdot 49 + 24 \cdot - 7 - 77$

解题步骤 2.5.3.4

将 $12$ 乘以 $49$ 。

$- 343 + 588 + 24 \cdot - 7 - 77$

解题步骤 2.5.3.5

将 $- 343$ 和 $588$ 相加。

$245 + 24 \cdot - 7 - 77$

解题步骤 2.5.3.6

将 $24$ 乘以 $- 7$ 。

$245 - 168 - 77$

解题步骤 2.5.3.7

从 $245$ 中减去 $168$ 。

$77 - 77$

解题步骤 2.5.3.8

从 $77$ 中减去 $77$ 。

$0$

解题步骤 2.5.4

因为 $- 7$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 7$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77}{x + 7}$

解题步骤 2.5.5

用 $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ 除以 $x + 7$ 。

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解题步骤 2.5.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$7$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$24 x$

$77$

解题步骤 2.5.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$

解题步骤 2.5.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

解题步骤 2.5.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 7 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

解题步骤 2.5.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

解题步骤 2.5.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

解题步骤 2.5.5.7

将被除数中的最高阶项 $5 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

解题步骤 2.5.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$35 x$

解题步骤 2.5.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{2} + 35 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$

解题步骤 2.5.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$

解题步骤 2.5.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

解题步骤 2.5.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 11 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

解题步骤 2.5.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							-	$11 x$	-	$77$

解题步骤 2.5.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 11 x - 77$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$

解题步骤 2.5.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$
										$0$

解题步骤 2.5.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 5 x - 11$

解题步骤 2.5.6

将 $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ 书写为因数的集合。

$(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$

解题步骤 2.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

解题步骤 2.7

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 。

$x + 7 = 0$

解题步骤 2.7.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x = - 7$

解题步骤 2.8

将 $x^{2} + 5 x - 11$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

将 $x^{2} + 5 x - 11$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

解题步骤 2.8.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 5 x - 11 = 0$ 。

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解题步骤 2.8.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.8.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 5$ 和 $c = - 11$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.3

化简。

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解题步骤 2.8.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.3.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ 。

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解题步骤 2.8.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 11$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.3.1.3

将 $25$ 和 $44$ 相加。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.4.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ 。

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解题步骤 2.8.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 11$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.4.1.3

将 $25$ 和 $44$ 相加。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 5 + \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.4.4

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.4.5

从 $\sqrt{69}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{69})}{2}$

解题步骤 2.8.2.4.6

从 $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{69})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{69})}{2}$

解题步骤 2.8.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.5.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ 。

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解题步骤 2.8.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 11$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.5.1.3

将 $25$ 和 $44$ 相加。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 5 - \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.5.4

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.5.5

从 $- \sqrt{69}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{69})}{2}$

解题步骤 2.8.2.5.6

从 $- 1 (5) - (\sqrt{69})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{69})}{2}$

解题步骤 2.8.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.8.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 2.9

最终解为使 $(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

小数形式：

$x = - 7, 1.65331193 \dots, - 6.65331193 \dots$

代数 示例

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