代数示例

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

解题步骤 1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $2 y^{2}$ 。

$x - 20 y - 49 = 2 y^{2}$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $20 y$ 。

$x - 49 = 2 y^{2} + 20 y$

解题步骤 1.3

在等式两边都加上 $49$ 。

$x = 2 y^{2} + 20 y + 49$

解题步骤 2

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 2.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 y^{2} + 20 y + 49$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 2$

$b = 20$

$c = 49$

解题步骤 2.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{20}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

约去 $20$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.1

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (2)}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{10}{2}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{5}{1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$d = 5$

解题步骤 2.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 49 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1.1

对 $20$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 49 - \frac{400}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$e = 49 - \frac{400}{8}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.3

用 $400$ 除以 $8$ 。

$e = 49 - 1 \cdot 50$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $50$ 。

$e = 49 - 50$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

从 $49$ 中减去 $50$ 。

$e = - 1$

解题步骤 2.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $2 {(y + 5)}^{2} - 1$ 。

$2 {(y + 5)}^{2} - 1$

解题步骤 2.1.2

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

解题步骤 2.2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向右。

开口向右

解题步骤 2.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 1, - 5)$

解题步骤 2.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{8}$

解题步骤 2.6

求焦点。

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解题步骤 2.6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{7}{8}, - 5)$

解题步骤 2.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = - 5$

解题步骤 2.8

求准线。

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解题步骤 2.8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 2.8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = - \frac{9}{8}$

解题步骤 2.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(- 1, - 5)$

焦点： $(- \frac{7}{8}, - 5)$

对称轴： $y = - 5$

准线： $x = - \frac{9}{8}$

方向：开口向右

顶点： $(- 1, - 5)$

焦点： $(- \frac{7}{8}, - 5)$

对称轴： $y = - 5$

准线： $x = - \frac{9}{8}$

解题步骤 3

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ 。在本例中，该点为 $(0, - 5.70710678)$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$y = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.1.3

把 $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ 转换成小数。

$= - 5.70710678$

解题步骤 3.2

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ 。在本例中，该点为 $(0, - 4.29289321)$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

最终答案为 $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ 。

$y = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2.3

把 $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ 转换成小数。

$= - 4.29289321$

解题步骤 3.3

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ 。在本例中，该点为 $(1, - 6)$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{4}}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (1) = - \frac{10 + 2}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.5

将 $10$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = - \frac{12}{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.2.1

用 $12$ 除以 $2$ 。

$f (1) = - 1 \cdot 6$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f (1) = - 6$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$y = - 6$

解题步骤 3.3.3

把 $- 6$ 转换成小数。

$= - 6$

解题步骤 3.4

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ 。在本例中，该点为 $(1, - 4)$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{4}}{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

解题步骤 3.4.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (1) = - \frac{10 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (1) = - \frac{10 - 2}{2}$

解题步骤 3.4.2.1.6

从 $10$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = - \frac{8}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.4.2.2.1

用 $8$ 除以 $2$ 。

$f (1) = - 1 \cdot 4$

解题步骤 3.4.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (1) = - 4$

解题步骤 3.4.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 3.4.3

把 $- 4$ 转换成小数。

$= - 4$

解题步骤 3.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

解题步骤 4

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(- 1, - 5)$

焦点： $(- \frac{7}{8}, - 5)$

对称轴： $y = - 5$

准线： $x = - \frac{9}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

解题步骤 5

代数 示例

代数示例