代数示例

$4 (\sqrt[3]{x} + 10)$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 4 (\sqrt[3]{y} + 10)$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $4 (\sqrt[3]{y} + 10) = x$ 。

$4 (\sqrt[3]{y} + 10) = x$

解题步骤 2.2

将 $4 (\sqrt[3]{y} + 10) = x$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $4 (\sqrt[3]{y} + 10) = x$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 (\sqrt[3]{y} + 10)}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 (\sqrt[3]{y} + 10)}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\sqrt[3]{y} + 10$ 除以 $1$ 。

$\sqrt[3]{y} + 10 = \frac{x}{4}$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $10$ 。

$\sqrt[3]{y} = \frac{x}{4} - 10$

解题步骤 2.4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

解题步骤 2.5

化简方程的两边。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.2.1.2

化简。

$y = {(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.1

化简 ${(\frac{x}{4} - 10)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.1

使用二项式定理。

$y = {(\frac{x}{4})}^{3} + 3 {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.2.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}} + 3 {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{64} + 3 {(\frac{x}{4})}^{2} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.3

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{64} + 3 \frac{x^{2}}{4^{2}} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{64} + 3 \frac{x^{2}}{16} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.5

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2}}{16}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{16} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.1.2.6.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{2 (8)} \cdot - 10 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.6.2

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 5) + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.6.3

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 5) + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.6.4

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2}}{8} \cdot - 5 + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.7

组合 $\frac{3 x^{2}}{8}$ 和 $- 5$ 。

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{3 x^{2} \cdot - 5}{8} + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.8

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{x^{3}}{64} + \frac{- 15 x^{2}}{8} + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.9

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 3 \frac{x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.10

组合 $3$ 和 $\frac{x}{4}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{4} {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.11

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{4} \cdot 100 + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.12

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.1.2.12.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{4} \cdot (4 (25)) + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.12.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{4} \cdot (4 \cdot 25) + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.12.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 3 x \cdot 25 + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.13

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 2.5.3.1.2.14

对 $- 10$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$ 是否为 $f (x) = 4 (\sqrt[3]{x} + 10)$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10))$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = \frac{{(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{3}}{64} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

对 $4 (\sqrt[3]{x} + 10)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = \frac{4^{3} {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3}}{64} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.1.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = \frac{64 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3}}{64} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.2

约去 $64$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = \frac{64 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3}}{64} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.2.2

用 ${(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.3

使用二项式定理。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.4.1

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.4.1.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.1.5

化简。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 10 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.3

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 10^{2} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.4

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 100 + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.5

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 10^{3} - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.4.6

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{15 {(4 (\sqrt[3]{x} + 10))}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.5.1

对 $4 (\sqrt[3]{x} + 10)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{15 \cdot (4^{2} {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.5.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{15 \cdot (16 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.5.3

将 $15$ 乘以 $16$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{240 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.6

约去 $240$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.6.1

从 $240 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{8 (30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.6.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{8 (30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8 (1)} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.6.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{8 (30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2})}{8 \cdot 1} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.6.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - \frac{30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}}{1} + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.6.2.4

用 $30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 {(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.7

将 ${(\sqrt[3]{x} + 10)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt[3]{x} + 10) (\sqrt[3]{x} + 10)$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 ((\sqrt[3]{x} + 10) (\sqrt[3]{x} + 10))) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.8

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt[3]{x} + 10) (\sqrt[3]{x} + 10)$ 。

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解题步骤 4.2.3.8.1

运用分配律。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 10) + 10 (\sqrt[3]{x} + 10))) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.8.2

运用分配律。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 (\sqrt[3]{x} + 10))) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.8.3

运用分配律。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.9.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.9.1.1

乘以 $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 4.2.3.9.1.1.1

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.2.3.9.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.2.3.9.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.9.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.9.1.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 10 + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.9.1.3

将 $10$ 移到 $\sqrt[3]{x}$ 的左侧。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \cdot \sqrt[3]{x} + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \cdot 10)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.9.1.4

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \sqrt[3]{x} + 10 \sqrt[3]{x} + 100)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.9.2

将 $10 \sqrt[3]{x}$ 和 $10 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 (\sqrt[3]{x^{2}} + 20 \sqrt[3]{x} + 100)) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.10

运用分配律。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 \sqrt[3]{x^{2}} + 30 (20 \sqrt[3]{x}) + 30 \cdot 100) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.11

化简。

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解题步骤 4.2.3.11.1

将 $20$ 乘以 $30$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 \sqrt[3]{x^{2}} + 600 \sqrt[3]{x} + 30 \cdot 100) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.11.2

将 $30$ 乘以 $100$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 \sqrt[3]{x^{2}} + 600 \sqrt[3]{x} + 3000) + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.12

运用分配律。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - (30 \sqrt[3]{x^{2}}) - (600 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot 3000 + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.13

化简。

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解题步骤 4.2.3.13.1

将 $30$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - (600 \sqrt[3]{x}) - 1 \cdot 3000 + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.13.2

将 $600$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 1 \cdot 3000 + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.13.3

将 $- 1$ 乘以 $3000$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 75 (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) - 1000$

解题步骤 4.2.3.14

运用分配律。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 75 (4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 10) - 1000$

解题步骤 4.2.3.15

将 $4$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 75 (4 \sqrt[3]{x} + 40) - 1000$

解题步骤 4.2.3.16

运用分配律。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 75 (4 \sqrt[3]{x}) + 75 \cdot 40 - 1000$

解题步骤 4.2.3.17

将 $4$ 乘以 $75$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot 40 - 1000$

解题步骤 4.2.3.18

将 $75$ 乘以 $40$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 3000 - 1000$

解题步骤 4.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.4.1

合并 $x + 30 \sqrt[3]{x^{2}} + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 30 \sqrt[3]{x^{2}} - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 3000 - 1000$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1.1

从 $30 \sqrt[3]{x^{2}}$ 中减去 $30 \sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 0 + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 3000 - 1000$

解题步骤 4.2.4.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x} - 3000 + 300 \sqrt[3]{x} + 3000 - 1000$

解题步骤 4.2.4.1.3

将 $- 3000$ 和 $3000$ 相加。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x} + 0 + 300 \sqrt[3]{x} - 1000$

解题步骤 4.2.4.1.4

将 $x + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} + 1000 - 600 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x} - 1000$

解题步骤 4.2.4.1.5

从 $1000$ 中减去 $1000$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} + 0 - 600 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 4.2.4.1.6

将 $x + 300 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 300 \sqrt[3]{x} - 600 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 4.2.4.2

从 $300 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $600 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x - 300 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 4.2.4.3

合并 $x - 300 \sqrt[3]{x} + 300 \sqrt[3]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $- 300 \sqrt[3]{x}$ 和 $300 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 (\sqrt[3]{x} + 10)) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000)$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.3

去掉圆括号。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4

化简每一项。

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解题步骤 4.3.4.1

要将 $- \frac{15 x^{2}}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} \cdot \frac{8}{8} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $64$ 的形式。

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解题步骤 4.3.4.2.1

将 $\frac{15 x^{2}}{8}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2} \cdot 8}{8 \cdot 8} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.2.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2} \cdot 8}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 15 x^{2} \cdot 8}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.4

化简分子。

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解题步骤 4.3.4.4.1

从 $x^{3} - 15 x^{2} \cdot 8$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.4.4.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} x - 15 x^{2} \cdot 8}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.4.1.2

从 $- 15 x^{2} \cdot 8$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} x + x^{2} (- 15 \cdot 8)}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.4.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} (- 15 \cdot 8)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 15 \cdot 8)}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.4.2

将 $- 15$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 120)}{64} + 75 x - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.5

要将 $75 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 120)}{64} + 75 x \cdot \frac{64}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.6

组合 $75 x$ 和 $\frac{64}{64}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 120)}{64} + \frac{75 x \cdot 64}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.7

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{2} (x - 120) + 75 x \cdot 64}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.8

化简分子。

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解题步骤 4.3.4.8.1

从 $x^{2} (x - 120) + 75 x \cdot 64$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.3.4.8.1.1

从 $x^{2} (x - 120)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x (x - 120)) + 75 x \cdot 64}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.8.1.2

从 $75 x \cdot 64$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x (x - 120)) + x (75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.8.1.3

从 $x (x (x - 120)) + x (75 \cdot 64)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x (x - 120) + 75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.8.2

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 120 + 75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.8.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} + x \cdot - 120 + 75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.8.4

将 $- 120$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 \cdot x + 75 \cdot 64)}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.8.5

将 $75$ 乘以 $64$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 x + 4800)}{64} - 1000} + 10)$

解题步骤 4.3.4.9

要将 $- 1000$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 x + 4800)}{64} - 1000 \cdot \frac{64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.10

组合 $- 1000$ 和 $\frac{64}{64}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 x + 4800)}{64} + \frac{- 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.11

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x (x^{2} - 120 x + 4800) - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12

化简分子。

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解题步骤 4.3.4.12.1

运用分配律。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (- 120 x) + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.2

化简。

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解题步骤 4.3.4.12.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.4.12.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.4.12.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x \cdot x^{2} + x (- 120 x) + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{1 + 2} + x (- 120 x) + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} + x (- 120 x) + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x \cdot x + x \cdot 4800 - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.2.3

将 $4800$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x \cdot x + 4800 \cdot x - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.4.12.3.1

移动 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 (x \cdot x) + 4800 \cdot x - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x^{2} + 4800 \cdot x - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 1000 \cdot 64}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.4

将 $- 1000$ 乘以 $64$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.5

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000$ 。

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解题步骤 4.3.4.12.5.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000$ 。

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解题步骤 4.3.4.12.5.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 64000, \pm 2, \pm 32000, \pm 4, \pm 16000, \pm 5, \pm 12800, \pm 8, \pm 8000, \pm 10, \pm 6400, \pm 16, \pm 4000, \pm 20, \pm 3200, \pm 25, \pm 2560, \pm 32, \pm 2000, \pm 40, \pm 1600, \pm 50, \pm 1280, \pm 64, \pm 1000, \pm 80, \pm 800, \pm 100, \pm 640, \pm 125, \pm 512, \pm 128, \pm 500, \pm 160, \pm 400, \pm 200, \pm 320, \pm 250, \pm 256$

$q = \pm 1$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 64000, \pm 2, \pm 32000, \pm 4, \pm 16000, \pm 5, \pm 12800, \pm 8, \pm 8000, \pm 10, \pm 6400, \pm 16, \pm 4000, \pm 20, \pm 3200, \pm 25, \pm 2560, \pm 32, \pm 2000, \pm 40, \pm 1600, \pm 50, \pm 1280, \pm 64, \pm 1000, \pm 80, \pm 800, \pm 100, \pm 640, \pm 125, \pm 512, \pm 128, \pm 500, \pm 160, \pm 400, \pm 200, \pm 320, \pm 250, \pm 256$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.3

代入 $40$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $40$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.3.4.12.5.1.3.1

将 $40$ 代入多项式。

$40^{3} - 120 \cdot 40^{2} + 4800 \cdot 40 - 64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.3.2

对 $40$ 进行 $3$ 次方运算。

$64000 - 120 \cdot 40^{2} + 4800 \cdot 40 - 64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.3.3

对 $40$ 进行 $2$ 次方运算。

$64000 - 120 \cdot 1600 + 4800 \cdot 40 - 64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.3.4

将 $- 120$ 乘以 $1600$ 。

$64000 - 192000 + 4800 \cdot 40 - 64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.3.5

从 $64000$ 中减去 $192000$ 。

$- 128000 + 4800 \cdot 40 - 64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.3.6

将 $4800$ 乘以 $40$ 。

$- 128000 + 192000 - 64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.3.7

将 $- 128000$ 和 $192000$ 相加。

$64000 - 64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.3.8

从 $64000$ 中减去 $64000$ 。

$0$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.4

因为 $40$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 40$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000}{x - 40}$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5

用 $x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000$ 除以 $x - 40$ 。

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解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$40$

$x^{3}$

$120 x^{2}$

$4800 x$

$64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			+	$x^{3}$	-	$40 x^{2}$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 40 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 80 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					-	$80 x^{2}$	+	$3200 x$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 80 x^{2} + 3200 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$80 x$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $1600 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$80 x$	+	$1600$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$80 x$	+	$1600$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$
							+	$1600 x$	-	$64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $1600 x - 64000$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$80 x$	+	$1600$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$
							-	$1600 x$	+	$64000$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$80 x$	+	$1600$
$x$	-	$40$		$x^{3}$	-	$120 x^{2}$	+	$4800 x$	-	$64000$
			-	$x^{3}$	+	$40 x^{2}$
					-	$80 x^{2}$	+	$4800 x$
					+	$80 x^{2}$	-	$3200 x$
							+	$1600 x$	-	$64000$
							-	$1600 x$	+	$64000$
										$0$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 80 x + 1600$

解题步骤 4.3.4.12.5.1.6

将 $x^{3} - 120 x^{2} + 4800 x - 64000$ 书写为因数的集合。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) (x^{2} - 80 x + 1600)}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.5.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 4.3.4.12.5.2.1

将 $1600$ 重写为 $40^{2}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) (x^{2} - 80 x + 40^{2})}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.5.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$80 x = 2 \cdot x \cdot 40$

解题步骤 4.3.4.12.5.2.3

重写多项式。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 40 + 40^{2})}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.5.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 40$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) {(x - 40)}^{2}}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.5.3

合并同类因式。

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解题步骤 4.3.4.12.5.3.1

对 $x - 40$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{(x - 40) {(x - 40)}^{2}}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.5.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{{(x - 40)}^{1 + 2}}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.12.5.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{{(x - 40)}^{3}}{64}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.13

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{\frac{{(x - 40)}^{3}}{4^{3}}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.14

将 $\frac{{(x - 40)}^{3}}{4^{3}}$ 重写为 ${(\frac{x - 40}{4})}^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\sqrt[3]{{(\frac{x - 40}{4})}^{3}} + 10)$

解题步骤 4.3.4.15

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40}{4} + 10)$

解题步骤 4.3.5

要将 $10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40}{4} + 10 \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 4.3.6

化简项。

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解题步骤 4.3.6.1

组合 $10$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4})$

解题步骤 4.3.6.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40 + 10 \cdot 4}{4})$

解题步骤 4.3.7

化简分子。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x - 40 + 40}{4})$

解题步骤 4.3.7.2

将 $- 40$ 和 $40$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x + 0}{4})$

解题步骤 4.3.7.3

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x}{4})$

解题步骤 4.3.8

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.8.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = 4 (\frac{x}{4})$

解题步骤 4.3.8.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$ 为 $f (x) = 4 (\sqrt[3]{x} + 10)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64} - \frac{15 x^{2}}{8} + 75 x - 1000$

代数 示例

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