代数示例

$f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int {(x - 1)}^{3} d x + \int 2 d x$

解题步骤 3

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{3} d u + \int 2 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int 2 d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 2 x + C$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{4} u^{4} + 2 x + C$

解题步骤 7

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$

解题步骤 8

函数 $F$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$F (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$

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