代数示例

$f (x) = x^{4} + 7$ for $x \geq 0$

解题步骤 1

求给定函数的值域。

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解题步骤 1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

$[7, \infty)$

解题步骤 1.2

将 $[7, \infty)$ 转换为不等式。

$y \geq 7$

$y \geq 7$

解题步骤 2

求反函数。

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解题步骤 2.1

交换变量。

$x = y^{4} + 7$

解题步骤 2.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $y^{4} + 7 = x$ 。

$y^{4} + 7 = x$

解题步骤 2.2.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$y^{4} = x - 7$

解题步骤 2.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt[4]{x - 7}$

解题步骤 2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt[4]{x - 7}$

解题步骤 2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt[4]{x - 7}$

解题步骤 2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt[4]{x - 7}$

$y = - \sqrt[4]{x - 7}$

$y = \sqrt[4]{x - 7}$

$y = - \sqrt[4]{x - 7}$

$y = \sqrt[4]{x - 7}$

$y = - \sqrt[4]{x - 7}$

解题步骤 2.3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{x - 7}, - \sqrt[4]{x - 7}$

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{x - 7}, - \sqrt[4]{x - 7}$

解题步骤 3

利用原函数的定义域和值域求反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{x - 7}, x \geq 7$

解题步骤 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$