代数示例

$\frac{- 2}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{- 2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1.3

化简分母。

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解题步骤 1.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 3^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ 的因式。

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(x + 3) (x - 3) (x + 1)$ 的因式。

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 (x + 3) + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 3 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 6.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 2 x - 6 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 6.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 6.5

将 $- 2 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{x - 6 + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 6.6

将 $- 6$ 和 $3$ 相加。

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 7

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 3)}$

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