代数示例

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 3

重新排列多项式。

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = - \sqrt{2}$ 、 $b = 1$ 和 $c = \sqrt{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

一的任意次幂都为一。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.3

乘以 $4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.4.4.1

约去公因数。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.4.4.2

重写表达式。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.4.5

计算指数。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.6

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.7

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ 。

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

解题步骤 7.4

将 $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.5

合并和化简分母。

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解题步骤 7.5.1

将 $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.5.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 7.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 7.5.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 7.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.5.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.5.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.5.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.5.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.5.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.7.4.1

约去公因数。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.5.7.4.2

重写表达式。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.5.7.5

计算指数。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 7.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 7.7

将 $\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ 中的因式重新排序。

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 11

在 $\cos (x) = \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\sqrt{2}$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 12

在 $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 12.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 12.4

化简 $2 π - \frac{3 π}{4}$ 。

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解题步骤 12.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 12.4.2

合并分数。

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解题步骤 12.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 12.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 12.4.3

化简分子。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

解题步骤 12.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 12.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

代数 示例

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