代数示例

$4^{x} + 2^{x + 1} = 8$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$4^{x} + 2^{x + 1} - 8 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $2^{x + 1}$ 重写为 $2^{x} \cdot 2^{1}$ 。

$4^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

解题步骤 2.2

将 $4^{x}$ 重写为 ${(2^{2})}^{x}$ 。

${(2^{2})}^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

解题步骤 2.3

将 ${(2^{2})}^{x}$ 重写为 ${(2^{x})}^{2}$ 。

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

解题步骤 2.4

使 $u = 2^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $2^{x}$ 。

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解题步骤 2.4.1

计算指数。

$u^{2} + u \cdot 2 - 8 = 0$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

解题步骤 2.5

使用 AC 法来对 $u^{2} + 2 u - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $2$ 。

$- 2, 4$

解题步骤 2.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

解题步骤 2.6

使用 $2^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2^{x} - 2) (2^{x} + 4) = 0$

$(2^{x} - 2) (2^{x} + 4) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2^{x} - 2 = 0$

$2^{x} + 4 = 0$

解题步骤 4

将 $2^{x} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2^{x} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$2^{x} - 2 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $2^{x} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$2^{x} = 2$

解题步骤 4.2.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{x} = 2^{1}$

解题步骤 4.2.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 1$

$x = 1$

$x = 1$

解题步骤 5

将 $2^{x} + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2^{x} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$2^{x} + 4 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $2^{x} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$2^{x} = - 4$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{x}) = \ln (- 4)$

解题步骤 5.2.3

因为 $\ln (- 4)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.2.4

$2^{x} = - 4$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 6

最终解为使 $(2^{x} - 2) (2^{x} + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$