代数示例

$16 x^{4} + 31 x^{2} = 2$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$16 x^{4} + 31 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$16 {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 2.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$16 u^{2} + 31 u - 2 = 0$

解题步骤 2.3

分组因式分解。

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解题步骤 2.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 16 \cdot - 2 = - 32$ 并且它们的和为 $b = 31$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $31 u$ 中分解出因数 $31$ 。

$16 u^{2} + 31 (u) - 2 = 0$

解题步骤 2.3.1.2

把 $31$ 重写为 $- 1$ 加 $32$

$16 u^{2} + (- 1 + 32) u - 2 = 0$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$16 u^{2} - 1 u + 32 u - 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(16 u^{2} - 1 u) + 32 u - 2 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (16 u - 1) + 2 (16 u - 1) = 0$

解题步骤 2.3.3

通过因式分解出最大公因数 $16 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(16 u - 1) (u + 2) = 0$

解题步骤 2.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(16 x^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.5

将 $16 x^{2}$ 重写为 ${(4 x)}^{2}$ 。

$({(4 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$({(4 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4 x$ 和 $b = 1$ 。

$(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 4

将 $4 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $4 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 x + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $4 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$4 x = - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $4 x = - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $4 x = - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{4}$

解题步骤 5

将 $4 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $4 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 x - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $4 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 x = 1$

解题步骤 5.2.2

将 $4 x = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $4 x = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{4}$

解题步骤 6

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} = - 2$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 6.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{2}$

解题步骤 6.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 7

最终解为使 $(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

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