代数示例

${(2 x^{3} + 1)}^{5}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(2 x^{3} + 1)}^{5}$ , $n = 5$ ，所以展开系数将对应直线 $6$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ 。

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

解题步骤 3

将 $a$ $2 x^{3}$ 和 $b$ $1$ 的实际值代入表达式。

$1 {(2 x^{3})}^{5} {(1)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{0}$ 。

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解题步骤 4.1.1

移动 ${(1)}^{0}$ 。

${(1)}^{0} \cdot 1 {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.1.2

将 ${(1)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1^{0 + 1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1^{1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.2

化简 $1^{1} {(2 x^{3})}^{5}$ 。

${(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.3

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$2^{5} {(x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$32 {(x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.5

将 ${(x^{3})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$32 x^{3 \cdot 5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.5.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$32 x^{15} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.6

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$32 x^{15} + 5 (2^{4} {(x^{3})}^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.7

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$32 x^{15} + 5 (16 {(x^{3})}^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.8

将 ${(x^{3})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$32 x^{15} + 5 (16 x^{3 \cdot 4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.8.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$32 x^{15} + 5 (16 x^{12}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.9

将 $16$ 乘以 $5$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.10

计算指数。

$32 x^{15} + 80 x^{12} \cdot 1 + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.11

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.12

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (2^{3} {(x^{3})}^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.13

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 {(x^{3})}^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.14

将 ${(x^{3})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.14.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 x^{3 \cdot 3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.14.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 x^{9}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.15

将 $8$ 乘以 $10$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.16

一的任意次幂都为一。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} \cdot 1 + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.17

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.18

对 $2 x^{3}$ 运用乘积法则。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (2^{2} {(x^{3})}^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.19

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 {(x^{3})}^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.20

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.20.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 x^{3 \cdot 2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.20.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 x^{6}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.21

将 $4$ 乘以 $10$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.22

一的任意次幂都为一。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} \cdot 1 + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.23

将 $40$ 乘以 $1$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.24

化简。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 5 (2 x^{3}) {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.25

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.26

一的任意次幂都为一。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} \cdot 1 + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.27

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

解题步骤 4.28

通过指数相加将 $1$ 乘以 ${(1)}^{5}$ 。

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解题步骤 4.28.1

移动 ${(1)}^{5}$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + {(1)}^{5} \cdot 1 {(2 x^{3})}^{0}$

解题步骤 4.28.2

将 ${(1)}^{5}$ 乘以 $1$ 。

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解题步骤 4.28.2.1

对 $1$ 进行 $1$ 次方运算。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + {(1)}^{5} \cdot 1^{1} {(2 x^{3})}^{0}$

解题步骤 4.28.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{5 + 1} {(2 x^{3})}^{0}$

解题步骤 4.28.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{6} {(2 x^{3})}^{0}$

解题步骤 4.29

化简 $1^{6} {(2 x^{3})}^{0}$ 。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{6}$

解题步骤 4.30

一的任意次幂都为一。

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1$

代数 示例

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