代数示例

$\sqrt{p} - 2 \sqrt[4]{p} - 3 = 0$

解题步骤 1

对 $\sqrt{p} - 2 \sqrt[4]{p} - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{p}$ 重写成 $p^{\frac{1}{2}}$ 。

$p^{\frac{1}{2}} - 2 \sqrt[4]{p} - 3 = 0$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{p}$ 重写成 $p^{\frac{1}{4}}$ 。

$p^{\frac{1}{2}} - 2 p^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

解题步骤 1.3

将 $p^{\frac{1}{2}}$ 重写为 ${(p^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 。

${(p^{\frac{1}{4}})}^{2} - 2 p^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

解题步骤 1.4

使 $u = p^{\frac{1}{4}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $p^{\frac{1}{4}}$ 。

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

解题步骤 1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 3) (u + 1) = 0$

解题步骤 1.6

使用 $p^{\frac{1}{4}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(p^{\frac{1}{4}} - 3) (p^{\frac{1}{4}} + 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$p^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

$p^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

解题步骤 3

将 $p^{\frac{1}{4}} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $p$ 。

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解题步骤 3.1

将 $p^{\frac{1}{4}} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$p^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $p$ 的 $p^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$p^{\frac{1}{4}} = 3$

解题步骤 3.2.2

将方程两边同时进行 $4$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(p^{\frac{1}{4}})}^{4} = 3^{4}$

解题步骤 3.2.3

化简指数。

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解题步骤 3.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.3.1.1

化简 ${(p^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

将 ${(p^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$p^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 3^{4}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$p^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 3^{4}$

解题步骤 3.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$p^{1} = 3^{4}$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

化简。

$p = 3^{4}$

解题步骤 3.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.2.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$p = 81$

解题步骤 4

将 $p^{\frac{1}{4}} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $p$ 。

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解题步骤 4.1

将 $p^{\frac{1}{4}} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$p^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $p$ 的 $p^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$p^{\frac{1}{4}} = - 1$

解题步骤 4.2.2

将方程两边同时进行 $4$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(p^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.2.3

化简指数。

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解题步骤 4.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.3.1.1

化简 ${(p^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1

将 ${(p^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$p^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$p^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$p^{1} = {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

化简。

$p = {(- 1)}^{4}$

解题步骤 4.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.2.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$p = 1$

解题步骤 5

最终解为使 $(p^{\frac{1}{4}} - 3) (p^{\frac{1}{4}} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$p = 81, 1$

解题步骤 6

排除不能使 $\sqrt{p} - 2 \sqrt[4]{p} - 3 = 0$ 成立的解。

$p = 81$

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