代数示例

$f (r) = 4 π r^{2}$

解题步骤 1

将 $f (r) = 4 π r^{2}$ 写为等式。

$y = 4 π r^{2}$

解题步骤 2

交换变量。

$r = 4 π y^{2}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 π y^{2} = r$ 。

$4 π y^{2} = r$

解题步骤 3.2

将 $4 π y^{2} = r$ 中的每一项除以 $4 π$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $4 π y^{2} = r$ 中的每一项都除以 $4 π$ 。

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

解题步骤 3.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

解题步骤 3.2.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

解题步骤 3.2.2.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

解题步骤 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{r}{4 π}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $r$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $4 π$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

解题步骤 3.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

解题步骤 3.4.2

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

解题步骤 3.4.3

将 $\sqrt{\frac{r}{π}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

解题步骤 3.4.4

将 $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

解题步骤 3.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

解题步骤 3.4.5.2

对 $\sqrt{π}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

解题步骤 3.4.5.3

对 $\sqrt{π}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

解题步骤 3.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.6

将 ${\sqrt{π}}^{2}$ 重写为 $π$ 。

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解题步骤 3.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{π}$ 重写成 $π^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.5.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

解题步骤 3.4.5.6.5

化简。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

解题步骤 3.4.6

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

解题步骤 3.4.7

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 是否为 $f (r) = 4 π r^{2}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (r) = 4 π r^{2}$ 和 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (r) = 4 π r^{2}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{r π}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$r π \geq 0$

解题步骤 5.3.2

将 $r π \geq 0$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $r π \geq 0$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

解题步骤 5.3.2.2.1.2

用 $r$ 除以 $1$ 。

$r \geq \frac{0}{π}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

用 $0$ 除以 $π$ 。

$r \geq 0$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $r$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 5.4

求 $f (r) = 4 π r^{2}$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 的定义域为 $f (r) = 4 π r^{2}$ 的值域，而 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 的值域又为 $f (r) = 4 π r^{2}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ 为 $f (r) = 4 π r^{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

解题步骤 6

代数 示例

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