代数示例

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

解题步骤 1

父函数是给定函数类型的最简形式。

$y = x^{2}$

解题步骤 2

化简 ${(x + 2)}^{2} + 3$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$y = (x + 2) (x + 2) + 3$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$y = x (x + 2) + 2 (x + 2) + 3$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + 3$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 2.1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + 3$

解题步骤 2.1.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$y = x^{2} + 4 x + 4 + 3$

解题步骤 2.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$y = x^{2} + 4 x + 7$

解题步骤 3

假设 $y = x^{2}$ 为 $f (x) = x^{2}$ ， $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ 为 $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ 。

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

解题步骤 4

所描述的转换是从 $f (x) = x^{2}$ 到 $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ 的变化。

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

解题步骤 5

求 $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ 的顶点式。

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解题步骤 5.1

对 $x^{2} + 4 x + 7$ 进行配方。

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解题步骤 5.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 7$

解题步骤 5.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 5.1.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{2}{1}$

解题步骤 5.1.3.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$d = 2$

解题步骤 5.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.4.2.1.1

约去 $4^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.4.2.1.1.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.4.2.1.1.2.1

从 $4 \cdot 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

解题步骤 5.1.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$e = 7 - \frac{4}{1}$

解题步骤 5.1.4.2.1.1.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$e = 7 - 1 \cdot 4$

解题步骤 5.1.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 7 - 4$

解题步骤 5.1.4.2.2

从 $7$ 中减去 $4$ 。

$e = 3$

解题步骤 5.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 2)}^{2} + 3$ 。

${(x + 2)}^{2} + 3$

解题步骤 5.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

解题步骤 6

水平位移取决于 $h$ 的值。水平位移被描述为：

$g (x) = f (x + h)$ - 图像向左平移了 $h$ 个单位。

$g (x) = f (x - h)$ - 图像向右平移了 $h$ 个单位。

水平位移：向左 $2$ 个单位

解题步骤 7

垂直位移取决于 $k$ 的值。垂直位移可描述为：

$g (x) = f (x) + k$ - 图像向上平移了 $k$ 个单位。

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

垂直位移：向上移动 $3$ 个单位

解题步骤 8

当 $g (x) = - f (x)$ 时，图像关于 X 轴反射。

关于 x 轴反射：无

解题步骤 9

当 $g (x) = f (- x)$ 时，图像关于Y轴反射。

关于 y 轴反射：无

解题步骤 10

根据 $a$ 的取值压缩或伸展。

当 $a$ 大于 $1$ 时：垂直拉伸

当 $a$ 介于 $0$ 和 $1$ 之间时：垂直压缩

垂直压缩或垂直拉伸：无

解题步骤 11

比较并列出函数的变换。

父函数： $y = x^{2}$

水平位移：向左 $2$ 个单位

垂直位移：向上移动 $3$ 个单位

关于 x 轴反射：无

关于 y 轴反射：无

垂直压缩或垂直拉伸：无

解题步骤 12

代数 示例

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