代数示例

$\tan (\frac{π}{12}) = \cot (x - \frac{π}{36})$

解题步骤 1

将方程重写为 $\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$

解题步骤 2

$\tan (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $2 - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

解题步骤 2.2

应用角度恒等式的差。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.3

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.4

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.5

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.6

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.7

化简 $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 。

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解题步骤 2.7.1

将分数的分子和分母乘以 $3$ 。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.7.1.2

合并。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.7.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.7.3.2

约去公因数。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.7.3.3

重写表达式。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.7.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.7.5

化简分母。

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解题步骤 2.7.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.7.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.5.2.1

从 $3 \cdot 1$ 中分解出因数 $3$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.7.5.2.2

约去公因数。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.7.5.2.3

重写表达式。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

解题步骤 2.7.6

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 2.7.7

将 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

解题步骤 2.7.8

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.7.9

化简。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.10

化简分子。

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解题步骤 2.7.10.1

对 $3 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.10.2

对 $3 - \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

解题步骤 2.7.10.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

解题步骤 2.7.10.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

解题步骤 2.7.11

将 ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.12

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.7.12.1

运用分配律。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.12.2

运用分配律。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.12.3

运用分配律。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.13.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.13.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.7.13.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.7.13.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.13.1.5.4.1

约去公因数。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.5.4.2

重写表达式。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.5.5

计算指数。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

解题步骤 2.7.13.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.13.3

从 $- 3 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.14

约去 $12 - 6 \sqrt{3}$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.14.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.14.2

从 $- 6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.14.3

从 $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.14.4

约去公因数。

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解题步骤 2.7.14.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

解题步骤 2.7.14.4.2

约去公因数。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.14.4.3

重写表达式。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 2.7.14.4.4

用 $2 - \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 3

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 0.26794919$

解题步骤 4

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x - \frac{π}{36} = arccot (0.26794919)$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

计算 $arccot (0.26794919)$ 。

$x - \frac{π}{36} = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 6

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{36}$ 。

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π}{36}$

解题步骤 6.2

要将 $\frac{5 π}{12}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

解题步骤 6.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{5 π}{12}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{5 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

解题步骤 6.3.2

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{5 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{36}$

解题步骤 6.5

化简分子。

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解题步骤 6.5.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{15 π + π}{36}$

解题步骤 6.5.2

将 $15 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{16 π}{36}$

解题步骤 6.6

约去 $16$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

从 $16 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 (4 π)}{36}$

解题步骤 6.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.6.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 (4 π)}{4 (9)}$

解题步骤 6.6.2.2

约去公因数。

$x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 9}$

解题步骤 6.6.2.3

重写表达式。

$x = \frac{4 π}{9}$

解题步骤 7

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x - \frac{π}{36} = π + \frac{5 π}{12}$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

化简 $π + \frac{5 π}{12}$ 。

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解题步骤 8.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$x - \frac{π}{36} = π \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 π}{12}$

解题步骤 8.1.2

合并分数。

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解题步骤 8.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12}{12} + \frac{5 π}{12}$

解题步骤 8.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12 + 5 π}{12}$

解题步骤 8.1.3

化简分子。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $12$ 移到 $π$ 的左侧。

$x - \frac{π}{36} = \frac{12 \cdot π + 5 π}{12}$

解题步骤 8.1.3.2

将 $12 π$ 和 $5 π$ 相加。

$x - \frac{π}{36} = \frac{17 π}{12}$

解题步骤 8.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{36}$ 。

$x = \frac{17 π}{12} + \frac{π}{36}$

解题步骤 8.2.2

要将 $\frac{17 π}{12}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{17 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

解题步骤 8.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $36$ 的形式。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $\frac{17 π}{12}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{17 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{17 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

解题步骤 8.2.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{17 π \cdot 3 + π}{36}$

解题步骤 8.2.5

化简分子。

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解题步骤 8.2.5.1

将 $3$ 乘以 $17$ 。

$x = \frac{51 π + π}{36}$

解题步骤 8.2.5.2

将 $51 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{52 π}{36}$

解题步骤 8.2.6

约去 $52$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.6.1

从 $52 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 (13 π)}{36}$

解题步骤 8.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.6.2.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 (13 π)}{4 (9)}$

解题步骤 8.2.6.2.2

约去公因数。

$x = \frac{4 (13 π)}{4 \cdot 9}$

解题步骤 8.2.6.2.3

重写表达式。

$x = \frac{13 π}{9}$

解题步骤 9

求 $\cot (x - \frac{π}{36})$ 的周期。

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解题步骤 9.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 9.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 9.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10

$\cot (x - \frac{π}{36})$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π}{9} + π n, \frac{13 π}{9} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并答案。

$x = \frac{4 π}{9} + π n$ ，对于任意整数 $n$

代数 示例

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