代数示例

$f (x) = x^{4} + 9 x^{3} + 15 x^{2} + 9 x + 14$

解题步骤 1

重新组合项。

$f (x) = 9 x^{3} + 9 x + x^{4} + 15 x^{2} + 14$

解题步骤 2

从 $9 x^{3} + 9 x$ 中分解出因数 $9 x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $9 x^{3}$ 中分解出因数 $9 x$ 。

$f (x) = 9 x (x^{2}) + 9 x + x^{4} + 15 x^{2} + 14$

解题步骤 2.2

从 $9 x$ 中分解出因数 $9 x$ 。

$f (x) = 9 x (x^{2}) + 9 x (1) + x^{4} + 15 x^{2} + 14$

解题步骤 2.3

从 $9 x (x^{2}) + 9 x (1)$ 中分解出因数 $9 x$ 。

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 15 x^{2} + 14$

解题步骤 3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} + 14$

解题步骤 4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 15 u + 14$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $u^{2} + 15 u + 14$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $14$ ，和为 $15$ 。

$1, 14$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 14)$

解题步骤 6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x) = 9 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 14)$

解题步骤 7

从 $9 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 14)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 7.1

从 $9 x (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f (x) = (x^{2} + 1) (9 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 14)$

解题步骤 7.2

从 $(x^{2} + 1) (9 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 14)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f (x) = (x^{2} + 1) (9 x + x^{2} + 14)$

解题步骤 8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$f (x) = (x^{2} + 1) (9 u + u^{2} + 14)$

解题步骤 9

使用 AC 法来对 $9 u + u^{2} + 14$ 进行因式分解。

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解题步骤 9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $14$ ，和为 $9$ 。

$2, 7$

解题步骤 9.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = (x^{2} + 1) ((u + 2) (u + 7))$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x) = (x^{2} + 1) ((x + 2) (x + 7))$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$f (x) = (x^{2} + 1) (x + 2) (x + 7)$

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