代数示例

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{1 - y^{3}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$ 。

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{1 - y^{3}}}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{1 - y^{3}}$ 重写成 ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$1 - y^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- y^{3} = x^{3} - 1$

解题步骤 3.4.2

将 $- y^{3} = x^{3} - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- y^{3} = x^{3} - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

移动 $\frac{x^{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y^{3} = - 1 \cdot x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

将 $- 1 \cdot x^{3}$ 重写为 $- x^{3}$ 。

$y^{3} = - x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.3.1.3

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$y^{3} = - x^{3} + 1$

解题步骤 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 1}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\sqrt[3]{- x^{3} + 1}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.4.4.1.1

将 $- x^{3}$ 重写为 ${(- x)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1}$

解题步骤 3.4.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1^{3}}$

解题步骤 3.4.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = - x$ 和 $b = 1$ 。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3

化简。

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解题步骤 3.4.4.3.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.4

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 3.4.4.3.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.6

一的任意次幂都为一。

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

去掉圆括号。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.5

化简。

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解题步骤 5.2.5.1

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.6

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.7

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.8

化简。

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解题步骤 5.2.8.1

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.8.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.9

将 ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.10

化简表达式。

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解题步骤 5.2.10.1

对 $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.10.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1)}$

解题步骤 5.2.11

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1)}$

解题步骤 5.2.12

化简。

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解题步骤 5.2.12.1

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1)}$

解题步骤 5.2.12.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1)}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})$ 。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1 - {(\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})}^{3}}$

解题步骤 5.3.3

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1^{3} - {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{3}}$

解题步骤 5.3.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ 。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

解题步骤 5.3.5

化简。

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解题步骤 5.3.5.1

一的任意次幂都为一。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

解题步骤 5.3.5.2

将 $\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ 乘以 $1$ 。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

解题步骤 5.3.5.3

将 ${\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}}$ 。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}})}$

解题步骤 5.3.5.4

对 $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ 运用乘积法则。

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{(- x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}})}$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

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