代数示例

$\log_{2} (x^{2} - 7) - \log_{2} (x + 5) = 0$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$

解题步骤 2

利用对数的定义将 $\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{0} = \frac{x^{2} - 7}{x + 5}$

解题步骤 3

交叉相乘以去掉分数。

$x^{2} - 7 = 2^{0} (x + 5)$

解题步骤 4

化简 $2^{0} (x + 5)$ 。

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解题步骤 4.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{2} - 7 = 1 (x + 5)$

解题步骤 4.2

将 $x + 5$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 7 = x + 5$

解题步骤 5

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} - 7 - x = 5$

解题步骤 6

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1

在等式两边都加上 $7$ 。

$x^{2} - x = 5 + 7$

解题步骤 6.2

将 $5$ 和 $7$ 相加。

$x^{2} - x = 12$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $12$ 。

$x^{2} - x - 12 = 0$

解题步骤 8

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 1$ 。

$- 4, 3$

解题步骤 8.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 4) (x + 3) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 10

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 11

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 11.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 12

最终解为使 $(x - 4) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 3$

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