代数示例

$7 x^{3} - 8 x^{2} + x + 1$ divided by $x + 2$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

$\frac{7 x^{3} - 8 x^{2} + x + 1}{x + 2}$

解题步骤 2

要计算余项，请首先除以该多项式。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

+

$2$

$7 x^{3}$

-

$8 x^{2}$

+

$x$

+

$1$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $7 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				+	$7 x^{3}$	+	$14 x^{2}$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 x^{3} + 14 x^{2}$ 中的所有符号

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$

解题步骤 2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.7

将被除数中的最高阶项 $- 22 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$7 x^{2}$	-	$22 x$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.8

将新的商式项乘以除数。

					$7 x^{2}$	-	$22 x$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$
						-	$22 x^{2}$	-	$44 x$

解题步骤 2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 22 x^{2} - 44 x$ 中的所有符号

					$7 x^{2}$	-	$22 x$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$
						+	$22 x^{2}$	+	$44 x$

解题步骤 2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$7 x^{2}$	-	$22 x$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$
						+	$22 x^{2}$	+	$44 x$
								+	$45 x$

解题步骤 2.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$7 x^{2}$	-	$22 x$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$
						+	$22 x^{2}$	+	$44 x$
								+	$45 x$	+	$1$

解题步骤 2.12

将被除数中的最高阶项 $45 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$7 x^{2}$	-	$22 x$	+	$45$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$
						+	$22 x^{2}$	+	$44 x$
								+	$45 x$	+	$1$

解题步骤 2.13

将新的商式项乘以除数。

					$7 x^{2}$	-	$22 x$	+	$45$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$
						+	$22 x^{2}$	+	$44 x$
								+	$45 x$	+	$1$
								+	$45 x$	+	$90$

解题步骤 2.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $45 x + 90$ 中的所有符号

					$7 x^{2}$	-	$22 x$	+	$45$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$
						+	$22 x^{2}$	+	$44 x$
								+	$45 x$	+	$1$
								-	$45 x$	-	$90$

解题步骤 2.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$7 x^{2}$	-	$22 x$	+	$45$
	$x$	+	$2$		$7 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
				-	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
						-	$22 x^{2}$	+	$x$
						+	$22 x^{2}$	+	$44 x$
								+	$45 x$	+	$1$
								-	$45 x$	-	$90$
										-	$89$

解题步骤 2.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$7 x^{2} - 22 x + 45 - \frac{89}{x + 2}$

$7 x^{2} - 22 x + 45 - \frac{89}{x + 2}$

解题步骤 3

因为结果表达式的末项为分数，所以该分数的分子为其余数。

$- 89$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$