代数示例

$\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5}) = \log_{5} (x)$

解题步骤 1

将方程重写为 $\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}})$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{125}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 2.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $\frac{125}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

解题步骤 2.1.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

解题步骤 2.1.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

解题步骤 2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

解题步骤 2.1.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 2.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{1}})$

解题步骤 2.1.3.6.5

计算指数。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 2.1.4

约去 $125$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $125 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5})$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 (1)})$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 \cdot 1})$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{25 \sqrt{5}}{1})$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $25 \sqrt{5}$ 除以 $1$ 。

$\log_{5} (x) = \log_{5} (25 \sqrt{5})$

解题步骤 3

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x = 25 \sqrt{5}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 25 \sqrt{5}$

小数形式：

$x = 55.90169943 \dots$

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